משפט פרמה (אינפי)
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
הגדרת נקודת קיצון מקומית
תהי מוגדרת בסביבת הנקודה כך שלכל x בסביבה מתקיים:
- (נקודת מקסימום מקומי)
או
- (נקודת מינימום מקומי)
אזי הינה נקודת קיצון מקומית של .
משפט פרמה
תהי נקודת קיצון מקומית של פונקציה . אזי אם גזירה ב מתקיים:
הוכחה
נניח כי f גזירה בנקודת מקסימום מקומי (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של בה מתקיים , וכיוון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם .
לכן ביחד, מתקיים כי
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של בה מתקיים , וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם .
לכן ביחד, מתקיים כי
סה"כ כפי שרצינו.