שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/ערך הביניים

איך פותרים את תרגיל 4 ??

פתרון: נגדיר לכל n את הפוקנציה הבאה ונרצה למצוא להן שורש: $g_{n}(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n})$

נשים לב שהפונקציה רציפה בתחחום $[0,\frac{n-1}{n}]$, ולכן מקיימת את משפט ערך הביניים.

נביט בערכים הבאים (אם אחד מהם שווה ל0, סיימנו): $X=\left \{ g_{n}(\frac{i}{n}):0\leq i\leq n-1 \right \}$

נרצה למצוא שני איברים בתחום ההגדרה של הפונקציה $g_{n}(x)$ עם סימנים מנוגדים.

נבחין כי:

$g(0)=f(0)-f(\frac{1}{n})$

וכן כי מתקיים: $\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})=f(\frac{1}{n})-f(1)=f(\frac{1}{n})-f(0)$

לפי משפט ערך הביניים קיים $c\in [0,\frac{n-1}{n}]$ כך שמתקיים:

$g(c)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})}{n-1}=\frac{f(\frac{1}{n})-f(0)}{n-1}$

בבירור ניתן להבחין כי הסימנים של $g_{n}(0)$ ושל $g_{n}(c)$ שונים, ולכן קיימת לפונקציה g שורש וסיימנו.