אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

שאלות

שאלה - קבוצת ההרצאה של רוני ביתן

מועד ההגשה שנקבע לתרגיל 6 מאוד בעייתי - בהנחה שמישהו הצליח לסיים את תרגיל 5 כולו היום (בדקתי בכיתה, בערך משהו כמו 3 מתוך 20 הצליחו לפתור ממנו משהו עד אתמול בתרגול), ומחר (חמישי) יש תרגול נוסף כדי לעבור על חומר לתרגיל 6 - הזמן היחידי שיהיה בימים הקרובים לפתור אותו (לדוגמא עבור אלה מאתנו ששומרים שבת) - שישי לפני כניסת שבת, מוצאי שבת, ויום שני.

כל זאת בהנחה שתרגיל 5 כבר פתור ומושלם, ובהתעלמות מוחלטת מהתרגיל הרצחני וההזוי בשימושי מחשב שקבלנו אתמול (שלישי) בלילה שגם הוא לשלישי הקרוב. אני לא רוצה להתלונן יתר על המידה, אבל באמת שזה בלתי אפשרי, ובוודאי שלא כשכולנו כתיכוניסטים צריכים גם ללמוד למבחני מתכונת בביה"ס ומ-8 בבוקר ועד 3-4 נמצאים בבי"ס.

מה אפשר לעשות בנוגע לדבר? תודה, ושבוע טוב!

הבנתי שתומר דיבר איתכם בשיעור, אז אני לא בטוח מה השאלה.

שאלה

זה רק אני או שבתרגיל 6 שאלה 4 הפונקציה לא מוגדרת על כל הקטע [0,1]... אז איך היא יכולה בכלל להיות אנטגרבילית?

גם אני חושב שיש בעיה... אבל זה משהו די שולי- בהגדרת הפונקציה, במקום גדול שווה צריך להיות גדול ממש, כי אחרת הפונקציה אינה חד ערכית עבור נקודות מהצורה n/n+1

תשובה

הכותב השני צודק, האי שיוויון הימני צריך להיות חלש. אני אפרסם תיקון לתרגיל.

שאלה בקשר למשפט בתחילת תרגיל 6

היי ארז, הנוסח של המשפט שכתבת בתחילת התרגיל דומה למשפט שהוכחנו בהרצאה, אך ממש לא אומר אותו דבר. בהרצאה הוכחנו שפונקציה f(x) היא אינטגרבילית בקטע [a,b] אם ורק אם היא חסומה שם, ולכל e>0 קיים d>0 כך שלכל חלוקה T של [a,b] שהפרמטר שלה קטן מ- d מתקיים ש $|s^-(T)-s_(T)|<e$. המשפט שאתה כתבת כלל אינו מדבר על חסם של הפרמטר, אלא הוא דורש שפשוט תהיה קיימת חלוקה. האם אתה בטוח שהמשפט נכון? אם כן, זה אומר שפשוט מותר לי באופן אנליטי להסביר איך אני בונה את החלוקה שלי שלב אחרי שלב?

תשובה

אני מסכים שמשפט זה מבלבל, אבל ההוכחה דיי פשוטה. נסמן ב$I_{-},I^{-}$ את האינטרגל העליון והתחתון. ברור שלכל חלוקה T מתקיים $s_{-}(T)\leq I_{-} \leq I^{-} \leq S^{-}(T)$

לכן, אם לכל אפסילון קיימת חלוקה כלשהי כך ש$S^{-}(T)-s_{-}(T)<\epsilon$ אזי מתקיים גם ש$r=|I^{-}-I_{-}|<\epsilon$. אבל אם $r<\epsilon$ לכל אפסילון אזיי בהכרח $r=0$

הבנתי, תודה. :) אז בעצם אני יכול להסביר באופן אנליטי כיצד אני בונה את החלוקה שלי, שלב אחרי שלב?

לא יודע מה זה להסביר באופן אנליטי :) אם תראה שלכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין סכום דרבו עליון לתחתון קטן מאפסילון אזי הפונקציה אינטגרבילית.

שאלה

בשאלה 1a בתרגיל 6- אני לא יודע איזה נקודות אי רציפות יש- יכול להיות משלושת הסוגים?

תשובה

יכול להיות מה שאתה רוצה. הנתון הוא שהפונקציה רציפה פרט למספר סופי של נקודות.

שאלה

בשאלה 1b- אפשר להבין את השאלה בשתי דרכים. האם הכוונה שהפונקציה הקדומה חייבת להיות גם היא מוגדרת בקטע [a,b] שבה מוגדרת f, או שאני יכול לתת f שמוגדרת בקטע מסוים אבל הקדומה שלה לא מוגדרת בכל נקודות הקטע הזה?

תשובה

אין שתי דרכים להבין את זה. F הינה קדומה של f בקטע [a,b] כלומר, f הינה הנגזרת של F בקטע הנ"ל. נובע שF בוודאי מוגדרת ואף רציפה וגזירה בקטע. f הינה הנגזרת שלה (בקטע זה). האם f אינטגרבילית.

תיקון 'סמנטי' קל - שאלה 1c

בתרגיל 6, בשאלה 1c נתון ש-A שייכת לקטע [0,1] בעוד שלאחר מכן נתון ש-A אינסופית עם עוצמה א0 - הגדרת ה'שייכות' היא עבור איברים, ואילו עבור קבוצות (שלא משמשות כאיבר) יש להשתמש בסימן ההכלה, לא?

נכון.. זה צריך להיות הכלה

שאלה בקשר ל1 א

האם הכוונה ש-f מוגדרת בכל הקטע [a,b]?

תשובה

זה לא באמת משנה הרבה.. בנקודות אי הרציפות שלה אפשר להגדיר את f איך שרוצים, ממילא זו נקודת אי רציפות, וממילא ההגדרה של f בנקודה בודדת לא יכולה להשפיע על האינטגרביליות שלה (לכאן או לכאן).

צודק. האם הכוונה ב-1 ב' ש-f מוגדרת בכל הקטע [a,b]? שם זה יותר משנה.

עניתי על זה למעלה. בוודאי שהיא מוגדרת לכל [a,b] אם יש לה קדומה בקטע.

שאלה

האם ב1 ג' אפשר לדבר על חלוקה אינסופית של הקטע, בנסיון להוכיח אינטגרביליות?

תשובה

האם ההגדרה של אינטגרביליות מדברת על חלוקות אינסופיות? לא.

האם אין בעייתיות בסעיף הזה? ד"ר שיין הזכיר בהרצאה משפט על הקשר המידה של נקודות אי הרציפות של פונקציה לאינטגרביליות שלה, ואמר שרק אחרי שנוכיח אותו נוכל להכריע לגבי פונקציות עם אינסוף נקודות אי רציפות..

אם הייתם יודעים את המשפט הזה, התרגיל היה טריוויאלי. עם הידע הנוכחי שלכם אתם מסוגלים לפתור אותו כבר עכשיו.

שאלה

התרגול הנוסף של תומר ביום חמישי נדחה ליום ראשון אחרי ההרצאה. עדיין לא היה לנו תרגול על האינטגרל המסויים, אך מצופה מאיתנו שנגיש את תרגיל 6 ביום שלישי. כלומר, שנסיים את התרגיל ביום אחד (יום שני). אמנם לא כדאי להכנס לפיגור באופן כללי, אבל זה לא כל כך אפשרי שנצליח לעשות את זה. אז לאור הנסיבות, האם התרגיל יידחה? 

תשובה

התרגיל אכן יידחה. המטרה היא שנשלים את הפער מהר ככל האפשר, אבל יהיה לכם מספיק זמן לפתור את התרגיל.

שאלה

בשאלה 2 מה זאת אומרת 'שווה זהותית ל-0 בקטע'?

תשובה

$f(x)=0$ לכל x בקטע.

שאלה

האם אפשר לומר שאם לפונ' f כלשהי יש קדומה F אז f בהכרח רציפה? כי אם לא אז כביכול הנגזרת של F לא רציפה ואז F לא גזירה בכלל בכל הקטע...

תשובה

למדנו שנגזרת לא חייבת להיות רציפה, לכן יש משמעות לביטוי גזירה ברציפות. ומי אמר שפונקציה שאינה רציפה אינה מוגדרת? F יכולה בהחלט להיות גזירה בקטע שלם, ונגזרתה מוגדרת אך אינה רציפה בקטע.

אבל אז F לא גזירה בנק' בה f אינה רציפה. נניח ש-f בקטע [0,1] אינה רציפה בנק' 0.5, אזי F לא גזירה בנק' 0.5, ולכן היא לא גזירה בכל [0,1].

(זה לא ארז) לא נכון. אם f מוגדרת בנקודה, אז F גזירה בנקודה זו ללא קשר לרציפות. כי אם F לא היתה גזירה בנקודה אז f לא היתה מוגדרת בנקודה זו(לא גזירה=הנגזרת אינה קימת).

שאלה 4, תרגיל 6

כשיש שימוש ב-n, מה נתון לגביו? (האם הוא שלם, חיובי, שלילי, וכו'). קשה לי להבין את השאלה בלי המידע הזה.

תשובה

n טבעי

שאלה

ארז, תוכל בבקשה להעלות את הפתרון לתרגיל 4? :)