אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 5

שאלות

שאלה

בתרגיל 6, האם מותר להשתמש בעובדה שאם פונקצייה היא אי-שלילית, אז גם כל אינטגרל בכל קטע של הפונקצייה יהיה אי-שלילי?

תשובה

כן, אבל זה גם טיעון טריוויאלי. הרי האינטגרל הוא גבול סכומי רימן, וסכומי הרימן של פונקציה אי שלילית הינם אי שליליים, ולכן גם הגבול אי שלילי

שאלה

האם שאני עושה אינטגרל מסוים ומבצע הצבה t=x+something , אני מקבל אינטרגרל של t עם dt. אם אני משנה גבולות לגבולות מתאימים ל-t, האם אני יכול לכתוב את זה כמו אינטגרל שתלוי בx dx עם הגבולות החדשים (כמו שעשינו בתרגול), במקום לכתוב את זה כאינטגרל של t?

תשובה

באינטגרל המסוים שם המשתנה אינו חשוב. האינטגרל המסוים הינו מספר קבוע. האינטגרל הלא מסוים הוא פונציה קדומה במשתנה כלשהו. לכן באינטגרל הלא מסוים יש משמעות ליחס בין t לx שאלו המשתנים, ואי אפשר להחליף את השמות שלהם כרצוננו. אבל באינטגרל המסוים, יש לנו מספר קבוע ושם המשתנה אינו חשוב, כי ממילא הוא אינו יוצא מחוץ לאינטגרל.

שאלה בנוגע לפרסום התרגיל

שמתי לב שהתרגיל הזה והתרגיל הקודם פורסמו בימי שלישי ורביעי. אולי לקבוצה השנייה זה סבבה אבל למי שמגיש את התרגיל ביום ראשון כמוני יצטרך לעשות אותו שני ימים פחות... אז מי שבקבוצה א' יכול להגיש את התרגילים במועד של קבוצה ב' או שאצטרך להשלים עם רוע הגזרה (סליחה על הטון המוגזם הזה... זה קצת מבאס :$)?

תשובה

כרגע זה רוע הגזירה, נשתדל לפרסם את התרגיל יותר מוקדם בפעמים הבאות.

שאלה

אפשר להסתמך על כך שאי שיוויון ממש(!!) ברמת הפונקציה גורר אי שיוויון (ממש!) ברמת האינטגרל? או שזו בעצם המהות של שאלה 2 ואי אפשר להסתמך על זה..

תשובה

זו לא עובדה נכונה באופן כללי. איך אתה מגדיר אי שיוויון ממש בין פונקציות? נניח ויש פונקציה שבנקודה מסויימת שווה לאחד, ובשאר הנקודות היא אפס. האם היא גדולה ממש מהפונקציה שהיא זהותית אפס להגדרתך? האינטרגל עליה שווה לאפס ממש.

בתרגיל זה, יש להראות שאם הפונקציה רציפה, מספיק שהיא גדולה ממש מפונקציה אחרת בנקודה אחת, וגדולה שווה בשאר הנקודות אזי האינטגרל עליה גדול (זו מסקנה טריוויאלית מהתרגיל). ולכן כמובן יש להוכיח למה דווקא עבור פונקציה רציפה זה עובד, כי עבור פונקציות שאינן רציפות זה פשוט לא נכון (הדוגמא שנתתי).

לא הבהרתי את עצמי מספיק טוב - התכוונתי אי שיוויון ממש מ0. כלומר - אם f(x)>0 לכל X בקטע סגור כלשהו אז האינטגרל גם הוא גדול מ0 לכל X בתחום הסגור הנ"ל.

איך זה מתקשר לשאלה 2? ושוב, יש לך הוכחה לטענה כזו? (ההוכחה תהיה בעקבות משפט לבג, הפונקציה תהיה רציפה לפחות בנקודה אחת בקטע (למעשה הרבה יותר) ואז שם תוכל לחזור על ההוכחה של שאלה 2).

מונוטוניות

בשאלה 4 (בתרגיל מס' 6). צריך להוכיח באופן פורמלי שהפונקציה מונוטונית?