משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11

את משפט 2 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־22.2.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

האינטגרל לפי דרבו (המשך)

משפט 3

תהי f מוגדרת וחסומה ב-$[a,b]$. אזי $\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)$ וכן $\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)$.

הוכחה

הטענה הראשונה אומרת שלכל $\varepsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שאם $|\lambda(P)|=\lambda(P)<\delta$ אזי $\left|\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\right|<\varepsilon$. ברור מהגדרת האינטגרל העליון כי $0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx$. כעת יהי $\varepsilon>0$ נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של $[a,b]$ כך ש-$0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2$ ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של $[a,b]$ כך ש-$\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}$, ונגדיר $R=P\cup Q$. כיוון ש-R עידון של Q, $\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)$ ונובע ש-$0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2$. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-$\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2$. לכן נוכל להסיק

$0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon$.

ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. $\blacksquare$

משפט 4

תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-$[a,b]$ אם"ם $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0$ ואם כן $\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)$.

הוכחה

תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א $\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx$. לכן, ממשפט 3, $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)$. ע"פ אריתמטיקה של גבולות $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0$ וכן $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)$.

עכשיו נניח ש-$\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0$ ונוכיח את ההיפך. ממשפט 3 $0=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx-\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx$ ולכן f אינטגרבילית. $\blacksquare$

משפט 5

תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-$[a,b]$ אם"ם לכל $\varepsilon>0$ קיימת חלוקה P של $[a,b]$ כך ש-$\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon$.

הוכחה

אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0$. לכן עבור $\varepsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל P המקיימת $\lambda(P)<\delta$ מתקיים $\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon$.

לצד השני, נניח שלכל $\varepsilon>0$ קיימת חלוקה P כך שמתקיים $\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon$. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים $\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)$. לפי הנתון נקבל $0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon$. זה נכון לכל $\varepsilon>0$ ולכן $\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0$, כלומר f אינטגרבילית ב-$[a,b]$. $\blacksquare$

משפט 6

תהי f רציפה ב-$[a,b]$. אזי f אינטגרבילית ב-$[a,b]$.

הוכחה

יהי $\varepsilon>0$. כיוון ש-f רציפה בקטע סגור $[a,b]$ היא רציפה במ"ש, לכן קיים $\delta>0$ כך שאם $x_1,x_2\in[a,b]$ ו-$|x_1-x_2|<\delta$ אז $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac\varepsilon{b-a}$. כעת תהי P חלוקה כלשהי של $[a,b]$ כך ש-$\lambda(P)<\delta$. לפיכך $\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k$ כאשר $M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}$ ו-$m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}$. כיוון ש-f רציפה ושעפ"י המשפט השני של ויירשראס לכל f רציפה ב-$[a,b]$ יש שם נקודות מינימום ומקסימום, לכל k קיימים $y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]$ כך ש-$f(y_k)=M_k$ ו-$f(z_k)=m_k$. כעת $|y_k-z_k|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta$, לכן $M_k-m_k=|f(y_k)-f(z_k)|<\frac\varepsilon{b-a}$ ולבסוף

$\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{b-a}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{b-a}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{b-a}(b-a)\\&=\varepsilon\end{align}$

ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-$[a,b]$. $\blacksquare$

משפט 7

תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע $[a,b]$. אזי f אינטגרבילית ב-$[a,b]$.

הוכחה

נוכיח לפונקציה עולה. לכל $x\in[a,b]$ מתקיים $f(a)\le f(x)\le f(b)$ ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה $P=\{x_0,\dots,x_n\}$ כלשהי של $[a,b]$ המקיימת לכל k, $\Delta x_k=\frac{b-a}n$ (ובפרט הם שווים) אזי $\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\Delta x_k$.

מכאן נובע כי

$\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}$

נשאיף $n\to\infty$ ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-$\overline S(f,P)-\underline S(f,P)$ קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-$[a,b]$. $\blacksquare$