אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־14:37, 30 ביולי 2012 מאת אור שחף (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "michael.michaeli (@) gmail.com ---- ''הערה:'' השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מר...")
michael.michaeli (@) gmail.com
הערה: השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון ), מכפלה פנימית (כגון ב־), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz) (), מרחבי הסדרות עם , אורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים החדשים והקשים לזכירה:
אי־שיוויון הולדר (Holder)
אם כאשר (כלומר, צמודים) אזי .
הוכחה
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung): . נבחר עבור כרצוננו , ונסכום לכל : . נכפול ב־
תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt)
התהליך מאשר להפוך כל קבוצה בת״ל לקבוצה אורתונורמלית כך ש־.
טענת עזר: יהי מרחב מכפלה פנימית, ותהי קבוצה אורתונורמלית ב־. אם אזי . הוכחה:
אם נגדיר תת־מרחב של ואם אזי ברור ש־. במקרה זה קיים איבר אחר שהוא הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־ (כלומר, מינימלי), ומתקיים . דוגמה: נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע . נגדיר מ״פ באופן הבא: . נמצא קירוב ל־ בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית . מתקיים:ולפיכך מינימלי.