אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12
michael.michaeli (@) gmail.com
ספר מומלץ: "טורי פורייה והתמרות אינטגרליות", זעפרני ואלון פינקוס.
אתר הקורס: http://www.math.biu.ac.il/~michelm2, Fourie Analasis (88-235)
הערה: השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון ), מכפלה פנימית (כגון ב־), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz) (), מרחבי הסדרות עם ואורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים הקשים לזכירה והחדשים:
תוכן עניינים
אי־שיוויון הולדר (Holder)
אם כאשר (כלומר, צמודים) אזי .
הוכחה
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung): . נבחר עבור כרצוננו , ונסכום לכל : . נכפול ב־ ונקבל את הדרוש.
קירוב לווקטור
נניח ש־ מרחב לינארי, תת־מרחב ו־. נרצה להראות שקיים וקטור יחיד שהוא קירוב ל־ ב־, כלומר שעבורו .
מובן של מציאת קירוב
הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־ הוא .
טענת עזר
יהי מרחב מכפלה פנימית, ותהי קבוצה אורתונורמלית ב־. אם אזי .
הוכחה
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
הוכחה
הגדרה: נקרא "מקדם פורייה".
צריך להוכיח ש־. אזי יהי ונסמן . לכן
מתקיים |
||||||
המקרה המינימלי הוא כאשר |
מכאן ש־ מינימלי כאשר . התוצאה נותנת לנו גם את אי־שיוויון בסל: .
הכללה
בהינתן בסיס אורתוגונלי של (שאינו בהכרח אורתונורמלי) ניתן להכליל את הנוסחה הנ״ל ל־.
הוכחה
בסיס ולכן וקטור האפס אינו נמצא בו. לפיכך הקבוצה מוגדרת ואורתונורמלית, ולבסוף
תרגיל
נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע . נגדיר מ״פ באופן הבא: . מצאו קירוב ל־ בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית .
פתרון
מתקיים:ולפיכך מינימלי בקטע.