מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/2

ערך מוחלט

הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:

$|7|=|-7|=7$

ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:

$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}$

תכונות של הערך המוחלט

• לכל x מתקיים $|x|\geq 0$

• $|x|=0$ אם ורק אם $x=0$

• $|x\cdot y| = |x|\cdot |y|$

• $x\leq |x|$

• אי שיוויון המשולש: $|x+y|\leq |x|+|y|$

• $||x|-|y||\leq |x-y|$

• $|x-y|$ הוא המרחק בין x לבין y

• נניח $L\geq 0$ אזי
  • $|x|\leq L$ אם ורק אם $-L\leq x\leq L$
  • $|x|\geq L$ אם ורק אם $x\geq L$ או $x\leq -L$

תרגילים

תרגיל: הוכח את אי שיוויון המשולש

תרגיל: הוכח כי $||x|-|y||\leq |x-y|$

תרגיל: יהיו $x,y,z\in\mathbb{R}$ מספרים ממשיים. יהי $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:

$|x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2}$

הוכח כי $|x-z|\leq \epsilon$

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

$|2x-1|>|x-1|$