מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
סימונים
- פולינומים ממעלה או פחות.
משפטים חשובים
- משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־ בתיבה , ונתונים תנאי ההתחלה . אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע .
- כל מד״ר מסדר שקולה למערכת של מד״ר מסדר 1: . כמו כן, הערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
שיטות לפתרון מד״ר
מד״ר מסדר 1
- מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה . אם אזי פתרון, ואם אזי פתרון. אחרת .
- נתונה מד״ר . אז נציב ו־.
- הכללה: נתונה מד״ר . אם נציב כאשר . אחרת נבחר ונציב .
- מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר . אזי נציב ו־.
- מד״ר לינארית: נתונה מד״ר . אם היא לינארית־הומוגנית אזי , ובכל מקרה .
- משוואת ברנולי: נתונה מד״ר . נציב , כאשר אם אז פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־), אם אז פתרון סינגולרי, ואם אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: .
- מד״ר מהצורה היא מדויקת אם״ם יש כך ש־ שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם .
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־ כך שתהפוך למדויקת. תלויה רק ב־ אם״ם תלויה רק ב־, ואז . היא תלויה רק ב־ אם״ם תלויה רק ב־, ואז .
- משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה . הפתרון הכללי הוא מהצורה . אם פתרון אזי הפתרון הכללי.
- נתונה מד״ר ממעלה . אזי קיימות פונקציות שעבורן .
- אם נציב ואז עבור יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם ו־ אזי .
- אם נציב ואז עבור יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם ו־ אזי .
- שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה . נבחר פונקציה שעבורה , וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת . במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) היא פתרון של הבעיה.
- משוואת קלרו: נתונה המד״ר . אזי או (כאשר ) .
- משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר עבור . נציב ואז . לפיכך מקיים או (מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־ מקיים .
מד״ר מסדר 2
- בהנתן מד״ר או נציב ונקבל או , בהתאמה. מתקיים ו־.
מד״ר מכל סדר
מד"ר לינארית
- מרחב הפתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית מסדר הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות מימדי.
- ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות מגדירים .
- אם ת״ל אזי .
- אם פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום וכן אזי הם ת״ל.
- משפט ליוביל: אם פתרונות בת״ל של אזי .
- הפתרון הכללי של מד״ר לינארית הוא מהצורה , כאשר פתרון כרצוננו של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־ פתרון פרטי של המד״ר.
- וריאציית הפרמטרים: נתונה המד״ר ונתונים פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא כאשר . באופן שקול: , כאשר .
- תהי מד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב , ואז וכן . אם השורשים השונים זה מזה הם והריבויים שלהם בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא (כאשר המקדמים בפולינמים הם מספרים כרצוננו). אם אינו ממשי ניתן לכתוב ואז, כיוון שגם שורש, נעזר ב־.
- תהי מד״ר לינארית עם מקדמים קבועים. קבוע כלשהו (יכולה להיות גם 0), והריבוי של ב־ הוא (במידה ו־ לא שורש נאמר ). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה כאשר .
הערה: אם נוכל לפתור עבור בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.