מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3
1
- חשב את הסכום
[רמז: סכום סדרה הנדסית , ומשפט דה-מואבר]
נסמן
לפי דה מואבר:
לכן:
לכן הסכום המבוקש שווה . נחשב:
בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית:
- מצא את כל הפתרונות של המשוואה
נמצא את ההצגה הפולארית של :
לכן המשוואה היא:
לכן לפי דה מואבר נקבל:
הפתרונות מתקבלים כאשר נציב
2
- מצא את ההיטל של הוקטור על הישר הנפרש על ידי הוקטור
נסמן את הוקטור הרצוי ב. ההפרש בין וקטור זה לבין צריך להיות מאונך ל לכן נקבל:
נקבל ואז הוקטור הוא
- מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו
נסדר את המשוואה לצורה . לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא .
- מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים
נסמן ב. הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: .
נבחר ונקבל . לכן התשובה היא
- מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור
נסמן ב. נחשב את האורך:
. לכן לכן הוקטור הוא:
- מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור
נסמן את הוקטור הרצוי ב. נחשב את האורך: .
לכן לכן הוקטור הרצוי הוא
- מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור ועובר בנקודה
כל מישור המאונך לוקטור הוא מהצורה . נציב את הוקטור ונקבל:
. לכן המישור הרצוי הוא .
- מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור הינה . כמה כאלה יש?
- הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).
[רמז: השתמש בזהות הידועה ]