מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/11

חזרה למערכי השיעור

פירוק פולינומים

לכל פולינום $p(x)$, אם $p(a)=0$ אזי הפולינום מתחלק ב$(x-a)$

פירוק פולינום ריבועי:

$ax^2+bx+c = a\Big(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)\Big(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)$

לפולינומים אחרים נשתמש בנוסחאות כפל מקוצר או ננחש שורש, ואם נצליח נחלק בו.

דוגמא:

$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$

חילוק פולינומים

נביט בפולינום $p(x)=x^3-4x^2+2x+1$ ונשים לב כי $p(1)=0$ ולכן נחלק ב$x-1$

אלגוריתם לחילוק פולינומים

א. חלק את המונום הגבוה של הפולינום המחולק במונום הגבוה של הפולינום המחלק

$\frac{x^3}{x}=x^2$

ב. כפול את התוצאה בפולינום המחלק, וחסר מהפולינום המחולק

$x^3-4x^2+2x+1 - x^2[x-1]= -3x^2+2x+1$

ג. חזור לשלב א' כאשר הפולינום המחולק הוא התוצאה מסעיף ב'. סכום חלוקות המונומים מסעיף א' הוא המנה

$\frac{-3x^2}{x}=-3x$

$-3x^2+2x+1 - (-3x)[x-1]= -x+1$

$\frac{-x}{x}=-1$

$-x+1 - (-1)[x-1] = 0$

ביחד מתקיים: $x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1)$

פירוק לשברים חלקיים

חשב את האינטגרל $\int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx$

על מנת לחשב את האינטגרל נפרק לשברים חלקיים:

$\frac{1}{x(x-1)(x-2)}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}$

נבצע מכנה משותף

$\frac{1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-1)(x-2) +Bx(x-2) + Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}$