אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'
תוכן עניינים
חלק א'
שאלה 1
ב. הפרכה:
נניח כי באמת חד חד ערכית.
זה אומר כי , ולכן .
לפי משפט הדרגה
היות ו .
נקבל כי .
מצד שני, ולכן .
קיבלנו ש
כלומר בסתירה לנתון ש .
סתירה.
ולכן לא יכולה להיות חד חד ערכית.
שאלה 2
ראשית נוכיח כי בת"ל.
נייצג את איברי בתור וקטורי קוארדינטות ב לפי הבסיס הסטנדרטי ונקבל
.
נשים וקטורים אלו בשורות מטריצה ונדרג אותה כדי לוודא שהם בלתי תלויים.
הגענו לצורה מדורגת בלי שקיבלנו שורת אפסים ולכן רשימת הוקטורים שהתחלנו איתה בת"ל.
(הערה: מי שהראה שכל צירוף מחייב ש . זאת גם תשובה טובה. וגם מי שהראה שאין כך ש זו גם תשובה נכונה).
השלמת לבסיס:
הואיל ובמטריצה המדורגת שהגענו אליה יש איברים מובילים בעמודות למדנו שאפשר להוסיף את כלומר עבור כל עמודה של משתנה חופשי.
ולכן קיבלנו בסיס .
שימו לב שצריך לנמק למה מוסיפים את - מי שסתם כתב שמוסיפים אותם בלי הסבר איבד נקודות.
הסברים מקובלים:
יש איברים מובילים בעמודות .
יש משתנים חופשיים בעמודות
אם מוסיפים את המטריצה נשארת מדורגת.
אם מוסיפים את שורות המטריצה עדיין בלתי תלויות לינארית.
או משהו בסגנון.
יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים כלשהם (לאו דווקא ) והראו שהקבוצה הנוצרת היא בת"ל/ פורשת ולכן לפי השלישי חינם היא בסיס.
יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים והוכיחו שהקבוצה הנוצרת בת"ל+ פורשת (שזה מיותר כי אפשר להשתמש בשלישי חינם)
גם התשובות האלה התקבלו, אמנם זה מייגע, אבל זה נכון.
יש סטודנטים שהשתמשו בעוד כל מיני דרכים מקוריות, חלק מהן היו נכונות.