משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
אינטגרציה (המשך)
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.
דוגמה 1
חשבו
-
פתרון
נרשום את האינטגרל כ-. מתבקשת ההצבה ולכן נקבל ומכאן קל למצוא את הפתרון. -
פתרון
נגדיר . נקבל .
הצבות טריגונומטריות
כאשר יש פונקציה מהצורה .
דוגמה 2
-
פתרון
נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1) חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא . נקבל נציב אזי . -
פתרון
שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה אזי נותר לפתור עבור . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. -
פתרון
ראשית נציב . נציב נקבל: את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה ואז .
הצבות מיוחדות
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב ולכן וגם .
דוגמה 3
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
-
פתרון
-
פתרון
נציב לפיכך .
מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורה ננסה להציב .
אם יש ביטוי מהצורה כאשר הפולינום אי פריק נציב . אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו נציב או .
דוגמה 4
נחשב