אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

שאלות

תומר - לפני הבוחן , אתן לכם מעט מידע שניתן לחשוף : החומר לבוחן הוא כאמור כל החומר מתחילת הסמסטר , עד ולא כולל , אינטגרלים לא אמיתיים . אין צורך בנוסחאות - הכל תקבלו בכתב , ולא מותר שום חומר עזר ! יש בחירה שנראית לנו הוגנת ומי שלמד כמו שצריך עד עכשיו רק ייצא נשכר .מי שנזכר רק עכשיו - לא צריך להילחץ , יש עוד זמן וזו תהיה נקודת זמן לקחת תצמו בידיים ! - ורק תזכרו - מדובר רק בבוחן ! יש עוד דרך ארוכה עד סוף הסמסטר והמבחן הסופי . שיהיה בהצלחה לכולם !

שאלה - פונקציות טריגונומטריות ממעלה גבוהה

נניח שאני רוצה לחשב את האינטגרל של סינוס בחמישית של x. האם "חוקי", בהנחה שהצבתי $sin(x)=t$, להסיק ש: $cos(x)=\sqrt{1-t^2}$ להמשך ההצבה? אם לא, באילו דרכים נוספות (מלבד ההצבה האוניברסאלית שלא נראית יעילה במיוחד והנוסחא לחישוב סינוס ממעלה גבוהה) ניתן לחשב את האינטגרל?

הערה : שמתי לב שמאחר וחזקת הסינוס היא אי-זוגית, נוח יותר להציב t=cosx. אני ממשיך לשאול את אותה שאלה באופן כללי.

תשובה

מוצאים את פיתרון האינטגרל על ידי הנוסחא הרקורסיבית: [[1]]

אם אתה צריך לחשב את האינטגרל של cos(x( ממעלה מסויימת אתה יכול להמיר אותו לאינטגרלים של sin(x) או שאתה יכול להשתמש בנוסחא: [[2]]

שאלה בקשר לבוחן

מה יהיו הנושאים בבוחן? איזה סוג של שאלות הוא יכלול? עברתי על כל התרגילים שנתנו עד כה (1-8), החל ממשפטי לגראנז' והערך הממוצע, דרך כלל לופיטל, חקירת פונקציות, טורי טיילור, עד לאינטגרלים הלא מסויימים, הצבות שונות, ולבסוף את כל הנושא של האינטגרביליות ועד לחישובים השונים של אינטגרלים מסויימים. אני די מתוסכל כי זה המון חומר ואשמח אם תוכלו לספק מידע, אפילו מועט, בנוגע לסוג השאלות שיופיעו בבוחן : האם תהיה בחירה? האם יהיו שאלות מסוג אמריקאי / נכון לא נכון? הוכח או הפרך? האם נצטרך לחקור פונקציות? תודה!

תשובה

ציינת יפה את רשימת החומר לבוחן.

יהיו שאלות הוכחה כלומר שאלות תאורטיות, ויהיו שאלות קצרות יותר בסגנון של הוכח הפרך (עם תשובה קצרה). צריך לדעת חקירת פונקציות, אבל לא נתן לכם לחקור פונקציה מלאה.

ותהרגו אותי אם אני מבין איך עוזר לכם לדעת אם תהיה בחירה או לא. אם המטרה היא לדלג על חומר מסוים מתוך ההנחה שתוכל לבחור לא לענות על שאלות בנושא, אני ממליץ לא לעשות את זה (כנראה שלא תהיה בחירה, וגם אם כן לא נאפשר לבחור בין נושאים שונים)

הסיבה היא בעיקר להרגיע אותנו - יהיה לך קשה למצוא סטודנטים רציניים שלא לחוצים מהבוחן הקרוב. אח"כ, המטרה שלשמה שאלתי את השאלה היא כדי לנסות ולמקד את תהליך הלמידה - בבחנים משנים קודמות קשה מאוד למצוא שאלות 'תאורטיות' או שאלות מסוג 'הוכח או הפרך', כך שמלבד חישוב אינטגרלים, חקירת פונקציות וחזרה עמוקה על החומר והתרגילים אין יותר מדי דרכים להתכונן לבוחן...

אם תדע לפתור תרגילים כמו בתרגילי הבית מצבך יהיה טוב.

שאלה

בתרגיל 8 שאלה 2, האם מותר להשתמש במשפט הערך הממוצע, ואז להראות שזה פשוט לא יכול להיות a או b?

תשובה

לא כי זה פשוט לא נכון. קח את הפונקציה הקבועה. קח פונקציה אחרת שבמקרה מקבלת את הממוצע בקצוות...

(מישהו אחר) אני השתמשתי במשפט הערך הממוצע, ואז אמרתי שאם הנקודה מתקבלת בקצוות אז יש עוד נקודה, באמצע, בעלת אותו ערך...

איך זה נובע מכך שזה הערך באחד הקצוות, שזה גם הערך בנקודה באמצע?

שאלונת

האם אינטגרביליות של פונקציה בקטע [a,b] גוררת קיום של פונקציה קדומה בקטע זה? (ברור לי שההפך לא נכון, אבל בקשר לכיוון הזה אני לא בטוחה..)

תשובה

בוודאי שלא, כי יכול להיות שהאינטגרבילית מכילה אי רציפות סליקה או ממין ראשון ולכן אין לה קדומה. למשל פונקציה קבועה עם קפיצה בנקודה אחת, אין לה קדומה.

שאלה

ראיתי שבפתרון לתרגיל 6 שאלה 2 התשובה מבוססת על סכום דרבו עליון. האם זה בסדר שההוכחה שלי מבוססת על הטענה שאי-שוויון ברמת הפונקציות גורר אי-שוויון ברמת האינטגרל, (כמובן תוך שימוש באותה הנחה בפתרון שנתתם, ובכך שהיא מובילה לקיומה של סביבה בה הפונקצייה חיובית), כך שפרקתי את האינטגרל ל-3 אינטגרלים (שניים מחוץ לסביבה החדשה שבה הפונקצייה חיובית, ואחד בתוכה), ואם האינטגרל המקורי שווה לאפס, ושני האינטגרלים מחות לסביבה אי-שליליים, והאינטגרל בסביבה חיובי ממש, אז קבלנו ש- 0<0.

תשובה

נשמע תקין

שאלה

פונקציה לה יש מס' סופי של נקודות אי רציפות ממין ראשון היא אינטגרבילית. האם זה נכון לכל פונקציה שיש לה מס' סופי של נק' אי רציפות? (למשל סליקה או ממין שני)

== אם f(x)>=m>0 אז ברור שהאינטגרל של f(x) גדול מ0. אבל אם סתם ידוע שf(x)>0 בכל הקטע [a,b] אפשר לומר שהאינטגרל גדול ממש מ0 בקטע הזה?

תשובה

לפי משפט לבג פונקציה שקבוצת נקודות אי הרציפות שלה הן ממידה 0 (כלומר עוצמת א_0 או סופי) הינה אינטגרבילית, ללא קשר לסוג אי הרציפות.

עשינו את זה בכיתה. אם f>0 ואינטגרבילית, לפי לבג יש לה לפחות נקודת רציפות אחת. נניח שבנקודה הזו הערך של הפונקציה הינו m>0. לכן בסביבת דלתא הפונקציה גדולה מm/2 ולכן האינטרגל שם גדול מm/2 כפול דלתא וזה בוודאי גדול ממש מאפס.

אבל.. מספיק שתהיה לי נק' אי רציפות אחת ממין שני כדי שהפונקציה לא תהיה חסומה ולכן לא אינטגרבילית.

משפט לבג אכן מניח שהפונקציה תהיה חסומה. כעת, מי אמר שאי רציפות ממין שני גוררת אי חסימות? בוודאי זה לא נכון.

שאלה על הבוחן

האם יש בבוחן דף נוסחאות של האינטגרלים? תודה

תקרא את מה שתומר רשם למעלה

שאלה נוספת - האם מותר להשתמש במשפטים שהוכחנו בתרגיל? (למשל בתרגיל 7, שאלה 1 a)

אם אתה יודע לצטט נכון את המשפט, וברור שהוא לא עיקר התרגיל אז כן. אפשר גם לצטט דברים שעשינו בכיתה.

שאלה-תרגיל 7 שאלה 1 b

בתשובות כתוב ש-f לא בהכרח רציפה על כל הממשיים, אבל הדוגמה לא טובה. ה-f ששמתם לא רציפה עם מחזור 2 כמו שכתבתם: $-1=f(-1)=/=f(-1+2)=f(1)=1$.

תשובה

צודק, טעות שלי, אני אפרסם תיקון לפתרון. הפונקציה כן רציפה בכל הממשיים כי בנקודות הבעיתיות מהצורה $(2k-1)L$ הגבול מימין שווה לגבול משמאל שווה לערך הפונקציה בנקודה L.

שאלה - תרגיל 6, שאלה 4

מהו n? האם לכל x בוחרים n מתאים? בכל מקרה, איך אפשר בכלל להוכיח שהפונקצייה הזו מונוטונית עולה?

תרגיל 8 שאלה 7

בסעיף 7b זו לא טעות? כי הגבול שם הוא שאפסילון שואף לאינסוף, ובתרגיל הם רוצים ל-0+..התשובה נכונה רק הגבול לא..

שאלה - אינטגרביליות

תהי f אינטגרבילית בקטע I, ו-g רציפה בקטע I. האם הרכבה של g על f אינטגרבילית?

(לא ארז/תומר). כן.. לדוגמה, פונקצית הערך המוחלט

ברור, פשוט שאלתי את זה כי ראיתי שלפי מה שרוני לימד אותנו בהרצאה g צריכה להיות רציפה על הקטע (חשבתי שיכול להיות שלמילה על יש משמעות במובן של כיסוי)

לא מקשיבים בתרגיל? הרי פתרנו את זה בשיעור. כן ההרכבה אינטגרבילית

תרגיל שלא הבנתי

האם יש קדומה לפונקציה הבאה ב (אינסוף,0]?- כש X גדול מ0 זה אי בחזקת חצי וכש X=0 זה 0

(לא ארז/תומר) לא, כי הפונקציה אינה מקיימת את תכונת ערך הביניים. למשל, בקטע [0,1] מתקיים f(0)=0, f(1)=e^1/2 אבל אין x בקטע עבורו f(x)=1.

תודה=] ואם הפונקציה הייתה רק כש X גדול מ0 זה אי בחזקת חצי, אז כן הייתה קדומה?

שאלה

האם יהיה מותר מחשבון בבוחן? אנחנו מאוד נודה לכם אם כן. לעיתים יש חישובים קטנים שלעיתים נשכחים מהראש שלנו, למשל tan של ביטוי פשוט המכיל פאי וכו'.. בבוחן באינפי 1 למשל היה מחדל בעניין הזה.