מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר

תוכן עניינים

1 משפטים חשובים
2 שיטות לפתרון מד״ר

משפטים חשובים

משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי $\vec f(x,\vec y)$ פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־ $\vec y$ בתיבה $B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]$ , ונתונים תנאי ההתחלה $\vec y(x_0)=\vec y_0$ . אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע $|x-x_0|<\min\!\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)$ .
כל מד״ר מסדר $n$ שקולה למערכת של $n$ מד״ר מסדר 1: $F\!\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F\!\left(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}'\right)=0\end{cases}$ . כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.

שיטות לפתרון מד״ר

מד״ר מסדר 1

מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה $M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0$ . אם $\exists y_0:\ N_1(y_0)=0$ אזי $y\equiv y_0$ פתרון, ואם $\exists x_0:\ M_2(x_0)=0$ אזי $x\equiv x_0$ פתרון. אחרת $\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0$ .
נתונה מד״ר . אז נציב ו־.
- הכללה: נתונה מד״ר $y'=f\!\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)$ . אם $\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0$ נציב $\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}$ כאשר $\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}$ ונקבל $q_p'=g\!\left(\frac qp\right)$ . אחרת נבחר $\lambda=\frac Aa=\frac Bb$ ונציב $z=ax+by$ .
מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר $y'=f\!\left(\frac yx\right)$ . אזי נציב $z=\frac yx$ ו־ $y'=z'x+z$ .
מד״ר לינארית: נתונה מד״ר $y'+p(x)y=q(x)$ . אם היא לינארית־הומוגנית אזי $y=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}$ , ובכל מקרה $y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx$ .
משוואת ברנולי: נתונה מד״ר $y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1$ . נציב $z=y^{1-n}$ , כאשר אם $n>1$ אז $y\equiv0$ פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־ $\pm\infty$ ), אם $0<n<1$ אז פתרון סינגולרי, ואם $n<0$ אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: $y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}$ .
מד״ר מהצורה היא מדויקת אם״ם יש כך ש־ שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם .
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־ $\mu$ כך שתהפוך למדויקת. $\mu$ תלויה רק ב־ $x$ אם״ם $a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q$ תלויה רק ב־ $x$ , ואז $\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}$ . היא תלויה רק ב־ $y$ אם״ם $b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P$ תלויה רק ב־ $y$ , ואז $\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}$ .
משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה $y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0$ . הפתרון הכללי הוא מהצורה $y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}$ . אם $y(x)\equiv y_p(x)$ פתרון אזי $y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}$ הפתרון הכללי.
נתונה מד״ר $\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0$ ממעלה $n$ . אזי קיימות פונקציות $f_k$ שעבורן $\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0$ .
אם $F(y,y')=0$ נציב $z=y'$ ואז $x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz$ . בנוסף, אם $y=\varphi(t)$ ו־ $z=\psi(t)$ אזי $x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt$ .
אם $F(x,y')=0$ נציב $z=y'$ ואז $y=zx-\int x\mathrm dz$ . בנוסף, אם $x=\varphi(t)$ ו־ $z=\psi(t)$ אזי $y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt$ .
שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה $\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}$ . נבחר פונקציה $\varphi_0$ שעבורה $\varphi_0(x)\equiv y_0$ , וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת $\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt$ . במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) $\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n$ היא פתרון של הבעיה.
משוואת קלרו: נתונה המד״ר $y=xy'+\psi(y')$ . אזי $y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R$ או (כאשר $p:=y'$ ) $\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}$ .
משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר $y=x\varphi(y')+\psi(y')$ עבור $\varphi(y')\not\equiv y'$ . נציב $p:=y'$ ואז $p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}$ . לפיכך הפתרון הכללי הוא $\begin{cases}x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp\\y=x\varphi(p)+\psi(p)\end{cases}$ או $y=p_i x+\psi(p_i)$ לכל $p_i$ כך ש־ $p_i=\varphi(p_i)$ .

מד״ר מסדר 2

בהנתן מד״ר $y''=f(x,y')$ או $y''=f(y,y')$ נציב $z=y'$ ונקבל $z'=f(x,z)$ או $zz_y'=f(y,z)$ , בהתאמה. מתקיים $x=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz$ ו־ $y=\int z\mathrm dx$ .

מד״ר לינארית

בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, המד״ר היא $y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) y^{(k)}=f(x)$ .

אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות $n$ מימדי.
ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות מגדירים .
- אם $y_1,\dots,y_n$ ת״ל אזי $W(x)\equiv0$ .
- אם $y_1,\dots,y_n$ פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום $D$ וכן $\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0$ אזי הם ת״ל.
משפט ליוביל: אם $y_1,\dots,y_n$ פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי $\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}$ .
הפתרון הכללי של המד״ר הוא $y=y_h+y_p$ , כאשר $y_h$ הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־ $y_p$ פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
וריאציית הפרמטרים: נתונים $y_1,\dots,y_n$ פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא $\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx$ כאשר $\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}$ . באופן שקול: $c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}$ , כאשר $W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}$ .
נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב $y=\mathrm e^{rx}$ , ולכן $y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}$ וגם $r^n+\sum_{k=0}^{n-1} a_k r^k$ (זה הפולינום האופייני של המשוואה) שווה ל־0. אם השורשים השונים זה מזה הם $r_1,\dots,r_m$ והריבויים שלהם $d_1,\dots,d_m$ בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא $y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}x^i$ . אם $r_k$ אינו ממשי ניתן לכתוב $r_k=\alpha+\beta\mathrm i$ ואז, כיוון ש־ $\overline{r_k}$ שורש עם אותו ריבוי, נציב $C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)\Big)$ .

שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן $f(x)=\mathrm e^{\lambda x}\sum_{k=0}^m b_k x^k$ , כאשר $\lambda$ קבועה, והריבוי של $\lambda$ בפולינום האופייני הוא $d$ (במידה ו־ $\lambda$ לא שורש נאמר $d=0$ ). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה $\mathrm e^{\lambda x}x^d\sum_{k=0}^m B_k x^k$ כאשר $b_m,B_m\ne0$ . הערה: אם $f(x)=g(x)+h(x)$ נוכל לפתור עבור $g(x),h(x)$ בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.

משוואת אוילר(–לגראנג׳) היא מד״ר לינארית מהצורה $(x-x_0)^ny^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k (x-x_0)^k y^{(k)}=f(x)$ עם $\forall k:\ a_k=\text{const.}$ . מציבים $x-x_0=\begin{cases}\mathrm e^t,&x>x_0\\-\mathrm e^t,&x<x_0\end{cases}$ במד״ר ההומוגנית ואז $y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac1{x-x_0},\ y''=\mathrm e^{-2t}\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right),\ \dots$ . נקבל משוואה לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים, וניתן להמשיך לפתור אותה באופן זה. לחלופין, אנו לומדים מכך שאפשר להציב $y=(x-x_0)^r$ במד״ר ההומוגנית ולקבל $r^n+\sum_{k=0}^{n-1} b_k r^k=0$ (משוואה אינדיציאלית). אם השורשים השונים זה מזה הם $r_1,\dots,r_m$ והריבויים שלהם $d_1,\dots,d_m$ בהתאמה אזי הפתרון ההומוגני הכללי הוא $y=\sum_{k=1}^m (x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}\ln^i(x-x_0)$ . אם $r_k$ אינו ממשי ניתן לכתוב $r_k=\alpha+\beta\mathrm i$ ואז, כיוון ש־ $\overline{r_k}$ שורש עם אותו ריבוי, נציב $C_1(x-x_0)^{r_k}+C_2(x-x_0)^{\overline{r_k}}=(x-x_0)^\alpha\Big(c_1\cos(\beta\ln(x-x_0))+c_2\sin(\beta\ln(x-x_0))\Big)$ .

אם $f(x)=(x-x_0)^\lambda\sum_{k=0}^m b_k \ln^k(x-x_0)$ כאשר $\lambda$ קבועה, והריבוי של $\lambda$ במשוואה האינדיציאלית הוא $d$ (אם לא שורש $d=0$ ). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה $(x-x_0)^\lambda\ln^d(x-x_0)\sum_{k=0}^m B_k \ln^k(x-x_0)$ כאשר $b_m,B_m\ne0$ .

פתרון מד״ר באמצעות טורי חזקות

נתונה מד״ר מהצורה $y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)y^{(k)}=f(x)$ כאשר $\forall k:\ f(x),a_k(x)\in C(a,b)$ ותהי $x_0\in(a,b)$ . אם $f$ וכל המקדמים $a_k$ אנליטיים סביב $x_0$ עם רדיוס התכנסות $R$ או יותר אזי קיים פתרון אנליטי סביב $x_0$ של המד״ר עם רדיוס התכנסות $R$ או יותר.
טור פרוביניוס הוא טור מהצורה $(x-x_0)^r\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k$ .
שיטת פרוביניוס: בהנתן $a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$ נחלק ב־ $a_2(x)$ . תהי $x_0$ נקודה סינגולרית של $\frac1{a_2(x)}$ . אם קיימים הגבולות $L_1=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)\frac{a_1(x)}{a_2(x)},L_2=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^2\frac{a_0(x)}{a_2(x)}$ הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת $x_0$ נקבל $(x-x_0)^2y''+(L_1+o(1))(x-x_0)y'+(L_2+o(1))y=0$ . לפי משפט, אם $x_0$ נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב $x_0$ בצורת בצורת טור פרוביניוס. נחשב את הפולינום האופייני של המד״ר עם $o(1)=0$ ע״י הצבת $y=(x-x_0)^r$ , ואם פתרונות הפולינום הם $r_1,r_2$ אזי יש שני פתרונות פרטיים בת״ל מהצורה $y_k=(x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^\infty b_{k,i}(x-x_0)^i,\quad k\in\{1,2\}$ כאשר $r_1-r_2\not\in\mathbb Z$ ו־ $y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{i=0}^\infty b_{1,i}(x-x_0)^i,y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{i=0}^\infty b_{2,i}(x-x_0)^i$ כאשר $r_1-r_2\in\mathbb Z$ ומתקיים בה״כ $r_1\ge r_2$ . נציב אותם במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים.
הערה: נאמר ש־ $f\in o(g)$ אם $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ . לעתים כותבים " $o(1)$ " לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה.

פונציית גמא: $\forall x>0:\ \Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt$ . היא מקיימת $\Gamma(xּּ+1)=x\Gamma(x)$ וגם $\forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n)=(n-1)!$ . ערך חשוב: $\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt\pi$ .
פונקציית בסל: $J_m(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \Gamma(m+1)}{2^{2k}k!\Gamma(m+k+1)}x^{2k+m}$ כאשר $m$ היא דרגת הפונקציה.
משוואת בסל: $x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0$ . מתקיים $y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=0$ ולכן $\lim x\frac1x=1,\ \lim x^2\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=-m^2$ , כלומר 0 סיגולריות־רגולרית. השורשים של הפולינום האופייני הם $\pm m$ ולכן, כאשר $m\not\in\frac12\mathbb Z$ , הפתרון הכללי הוא $c_1 J_m(x)+c_2 J_{-m}(x)$ .

מערכות מד״ר

מערכות מד״ר לינאריות־הומוגניות מסדר 1 עם מקדמים קבועים

בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, מערכת המד״ר היא $\mathbf y'=\mathbf{Ay}$ כאשר $\mathbf y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$ ו־ $\mathbf A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&\cdots&a_{n,n}\end{pmatrix}$ ( $a_{i,j}$ קבועים). כמו כן, נסמן ב־ $\mathbf v_i$ את הו״ע של $\mathbf A$ , ב־ $\lambda_i$ את הע״ע המתאימים להם וב־ $d_i$ את הריבויים האלגבריים של $\lambda_i$ .

לכל $i$ , $\mathbf y=\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}$ פתרון של המד״ר.
אם $\mathbf A$ לכסינה אז $\mathbf y=\sum_{i=1}^n c_i\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}$ הוא הפתרון הכללי.
אם $\mathbf A$ לא לכסינה אז הפתרון הכללי מהצורה $\mathbf y=\sum_{i=1}^n \mathrm e^{\lambda_i x}\sum_{j=0}^{d_i-1}\mathbf u_{i,j} x^j$ כאשר $\mathbf u_{i,j}$ וקטורים שניתן לחשב ע״י הצבה במד״ר.
נניח ש־ $n=2$ ונסמן $\mathbf A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ . אזי $\begin{cases}y_1'=a y_1+b y_2\\y_2'=c y_1+d y_2\end{cases}$ ולכן $y_2=\frac{y_1'-a y_1}b$ . לבסוף,
$\begin{align}y_1''&=a y_1'+b y_2'\\&=a y_1'+b(c y_1+d y_2)\\&=a y_1'+b c y_1+d y_1-a d y_1\end{align}$
ונותר לפתור מד״ר מסדר 2.