88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1

שאלה 1

לכל קבוצה $E \subseteq \mathbb{R}$ ומספרים $a,b \in \mathbb{R}$ מגדירים $aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}$ (ז"א ש-$aE+b$ היא תמונת $E$ תחת הפונקציה הלינארית $x \mapsto ax+b$).

הוכיחו: $m^*(aE+b)=|a| m^*(E)$

שאלה 2

א. יהי $\{E_n\}_{n=1}^N$ אוסף סופי של תתי-קבוצות של $\mathbb{R}$. הוכיחו שמתקיים $\overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n}$

ב. הוכיחו שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופי.

שאלה 3

הגדרה: נאמר שקבוצה $G \subseteq \mathbb{R}$ היא מטיפוס $G_\delta$ אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

תהי $E \subseteq \mathbb{R}$ הוכיחו שקיימת קבוצה $G \in G_\delta$ המקיימת $E \subseteq G$ וכן $m^*(G)=m^*(E)$

הדרכה: עקבו אחרי השלבים הבאים:

א. הוכיחו שלכל קבוצה $E \subseteq \mathbb{R}$ ולכל $\varepsilon>0$ קיימת קבוצה פתוחה $O$, המקיימת $E \subseteq O$ וכן $m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon$

ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.

שאלה 4

הראו שלכל קטע (לא טריוויאלי) יש תת קבוצה לא מדידה. (רמז: תרגיל 1)

בהצלחה!