88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 6

שאלה 0 (לא להגשה)

קראו בויקיפדיה על פונקציית קנטור, ועל הדרך שבעזרתה בונים קבוצת לבג שאיננה קבוצת בורל (ובעצם מוכיחים ש- $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subsetneq \mathcal{L}(\mathbb{R})$).

שאלה 1

יהי $(X,\mathcal{S},\mu)$ ממ"ח, $f:X \to [0,\infty]$ מדידה ואי-שלילית, ומקיימת $\int_X f \, d\mu=c$ באשר $0<c<\infty$. יהי $\alpha>0$ קבוע.

הוכיחו כי מתקיים $\lim_{n \to \infty} \int_X {n \log \left[ 1+\left( \frac{f}{n} \right)^\alpha \right]} \, d\mu=\begin{cases} \infty & 0<\alpha<1 \\ c & \alpha=1\\ 0 & 1<\alpha <\infty \end{cases}$

רמז: אם $\alpha \ge 1$, האינטגרנדים נשלטים ע"י $\alpha f$,

ואם $\alpha<1$ ניתן להפעיל את למת פאטו.

שאלה 2

יהי $(X,\mathcal{S},\mu)$ ממ"ח, ותהי $f:X \to [0,\infty]$ מדידה $d \mu$. עבור $E \in \mathcal{S}$ נגדיר $\nu(E)=\int_E f \, d \mu$. הוכחנו בהרצאה כי $\nu$ היא מידה.

א. הוכיחו כי לכל $g:X \to [0,\infty]$ מדידה $d \mu$ מתקיים $\int_X g \, d\nu=\int_X g f \, d \mu$.

(הדרכה: הראו זאת בשלבים כמו בתרגיל הקודם - התחילו מפונקציית אינדיקטור, וסיימו בפונקציה אי-שלילית כללית)

ב. באיזה תנאי פונקציה $g:X \to \mathbb{R}^*$ אינטגרבילית $d \nu$?

שאלה 3

יהי $(\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}),\mu)$ ממ"ח בו $\mu$ היא מידת הספירה. פונקציות $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ הן בעצם סדרות של מספרים ממשיים.

א. תהיינה $a,b:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ הפונקציות המוגדרות ע"י $a_n=\frac{(-1)^n}{n},b_n=\frac{(-1)^n}{n^2}$. מי מהן מדידה? מי מהן אינטגרבילית? חשבו את האינטגרל של האינטגרבילית מביניהן.

ב. תנו אפיון (תנאי הכרחי ומספיק) של הפונקציות המדידות $a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$.

ג. כנ"ל עבור הפונקציות האינטגרביליות.

ד. מצאו ביטוי לאינטגרל של פונקציה אינטגרבילית $a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$.

(שימו לב שתאריך ההגשה הוא בשבוע שלאחר חנוכה)

בהצלחה!