שיחה:89-214 הדרכות והסברים

תרגיל 5

5.3.9

הבהרה לגבי חבורת קיילי ($K$) - אם תשימו לב, בתרגיל 5.5 יש תרגיל שמבקש להוכיח שזו היא תת-חבורה נורמלית של $S_4$. אתם רשאים להתשתמש בעובדה זו כמשפט. ייתכן שנוכיח אותה בתרגול או ניתן כתרגיל בית בהמשך.

5.3.13

היכנם מתבקשים להראות מצד אחד שהליבה היא תת-חבורה נורמלית, ומצד שני שהיא מקסימלית ביחס להכלה מבין כל תתי-חבורות הנורמליות של $G$ שמוכלות ב $H$. זאת אומרת, לכל תת-חבורה $N$ נורמלית של $G$ שמוכלת ב $H$, מתקיים $N\leq \cap_{g\in G} g^{-1}Hg$

שאלה

אתם יכולים לתת דוגמא לאיך האיברים בליבה ניראים? אם יש לנו נגיד $a,b,c\in G$ אז זה חיתוך של קבוצה שנראית ככה: $ah_{1}a^{-1} , ah_{2}a^{-1}\dots$ עם קבוצה שנראית ככה: $bh_1b^{-1} , bh_2b^{-1}\dots$ וכו'.

תשובה

איבר היחידה הוא בליבה. מעבר לזה - אין צורך לדעת לצורך פתרון של השאלה. בסה"כ הבנת את ההגדרה נכון.

5.3.11

הכוונה היא לחבורה שנוצרת על ידי הקבוצה $\{g^2:g\in G \}$. זאת אומרת אוסך כל המכפלות הסופיות מהצורה $a^2_{1}\dots a^2_{k}, a_i\in G$. אין צורך להוכיח זאת בתרגיל, אבל תבדקו עם עצמכם שאתם מבינים מדוע זו חבורה בכלל. עליכם להראות שחבורה זו נורמלית.

5.3.14

לשאלת התלמידים ששאלו איך לפתור את סעיף ג' - הרעיון הוא להשתמש בסעיף א. כיצד הראתם נורמליות של $G^{n-1}$?

שימו לב שמדובר ב-n נתון מראש. בנוסף - יש להראות ש $G^n$ היא תת-חבורה של $G$. בסעיף א' ובכל שאר הסעיפים מדובר באותו n שמופיע בנתון.