88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 8
שאלה 1
יהי הפולינום .
א. שרטטו את הגרף של הפולינום בקטע .
ב. לכל , חשבו את ההשתנות הטוטאלית . יש למצוא ביטוי מפורש! (אולי כדאי להציג כפונקציית piecewise). הוסיפו את הגרף של לאיור מסעיף א' (ותדאגו שיהיה ניתן להבחין ביניהם).
ג. עבור נגדיר את להיות חלוקה אחידה של הקטע ל- קטעים. (למשל )
חשבו את לדיוק של 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לכל .
ד. עד כמה קרוב להשתנות האמיתית שמצאתם בסעיף ב'?
ה. תנו חלוקה בת ארבעה קטעים, ש"תופסת" את כל ההשתנות של . (כלומר ).
הערה: בשאלה הזו מומלץ (וגם כדאי) להעזר במחשב.
שאלה 2
נגדיר את הפונקציות ע"י . הוכיחו כי הפונקציות שתיהן רציפות בהחלט בקטע , ובכל זאת ההרכבה שלהן איננה רציפה בהחלט.
הדרכה:
א. בשביל להראות ש- רציפה בהחלט, אפשר להוכיח שהיא מקיימת את נוסחת ניוטון-לייבניץ ואת זה אפשר להראות עם התכנסות מונוטונית.
ב. כדי להראות ש- רציפה בהחלט, הוכיחו את הטענה: אם אזי גם .
ג. כדי להראות שההרכבה אינה רציפה בהחלט, אפשר לפנות לכיוון של השתנות חסומה.
שאלה 3
יהי קטע סגור וחסום. הוכיחו כי הוא מרחב וקטורי. (כלומר סגור ביחס לכפל בסקלר וחיבור פונקציות). מה ניתן לומר לגבי כפל בין פונקציות?
שאלה 4
תהי פונקציה רציפה ב- ורציפה בהחלט בקטע לכל .
א. הראו כי ייתכן ש- אינה רציפה בהחלט בקטע
ב. הראו כי אם בנוסף עולה, אז היא רציפה בהחלט ב-
זוהי עוד לא גרסה סופית של השאלות!