לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

$\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - יהיה בהמשך

שאלות

שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות

אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך: $\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}$ מעל $\mathbb{R}$ ?

למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.

הוספתי לאחר התנגשות עריכה -למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -אור שחף, שיחה, 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)

למערכת משוואות ליניאריות מעל $\mathbb{R}$ לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. Adam Chapman 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)

שאלה 1.3 ב

לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?

תשובה

שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"

או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.

שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)

איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה $a^2 +1 =0$ היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.

בעצם $a^2=a\cdot a$ ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-$F\times F$ שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..

הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה $a^2=a\cdot a$ כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית $S=1+q+q^2+...+q^n$.

עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב

את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש $a/(a^2+b^2)$ ו$b-/(a^2+b^2)$ שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?

תשובה

דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).

יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.

תרגיל 3.1,סעיף ב

בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?

תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו $a^2+1=0$ ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..

תשובה

צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --ארז שיינר 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)

הגשת תרגיל 1

שלום רב,

למתי צריך להגיש את תרגיל 1?

תודה רבה מראש.

עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).

1/8. -אור שחף, שיחה, 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)