שיחה:89-214 סמסטר א' תשעד

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

שאלה 3 בתרגיל בית 1

נניח אני רוצה לבטא את המחלק המשותף המקסימלי של 840,575 כצירוף לינארי שלהם.

בשלב הראשון, אני מוצא את המחלק המשותף המקסימלי ע"י אלגוריתם אוקלידיס באופן הבא:

zz (840,575)=(575,265)=(265,45)=(45,40)=(40,5)=5 zz

המעבר הראשון משמאל לימין, נובע מכך ש: zz 840=575*1+265 zz

המעבר השני משמאל לימין, נובע מכך ש: zz 575=265*2+45 zz

המעבר השלישי משמאל לימין נובע מכך ש: zz 265=45*5+40 zz

המעבר הרביעי משמאל לימין נובע מכך ש: zz 45=40*1+5 zz

המעבר האחרון נובע מכך שהמחלק המשותף המקסימלי של 40 ו-5 הוא 5.

כעת מה שאני רוצה לעשות, זה לבטא את המחלק המשותף המקסימלי של 840,575 שהוא כאמור המספר 5, כצירוף לינארי של 840, 575. כיצד בדיוק אני עושה את זה. ראיתי פתרון בתרגול, אבל השיטה לא ממש מובנת לי. אשמח להסבר מפורט, כיצד בדיוק אני צריך לעשות את זה.

תודה מראש ושבת שלום!

שתי הערות עריכה בויקי: כדאי להשתמש בכותרות (מוסיפים עם מספר של "=" משני הצדדים) וכדאי להשתמש בכתיב מתמטי (הכפתור עם $\sqrt{n}$) כדי להכניס ביטויים מתמטיים.

התשובה לשאלה היא פשוט ליישם את אלגוריתם אוקלידס המורחב. רמז קל: זה גם מה שנדרש בשאלה 1. בקישור יש כמה דוגמאות מפורטות.

הדרך שבה מצאת את המחלק המשותף המקסימלי נכונה, ודרושה להמשך. בכל שלב (מעבר) באלגוריתם אוקלידס אפשר להציג את שארית החלוקה $r$ כצירוף של שני המספרים שמחלקים $r=n-qm$. נתחיל מן השלב האחרון ונתקדם "מעלה":

• בסוף קיבלת כי $5 = 1 \cdot 45 - 1 \cdot 40$.
• נציב את הביטוי ל-$40$ מהשלב אחד לפני האחרון $5 = 1 \cdot 45 - 1 \cdot (265 - 5 \cdot 45)$. אם נצמצם נקבל $5 = -1 \cdot 265 + 6 \cdot 45$.
• כעת מציבים ביטוי עבור $45$ עם $265$ ו-$575$.

כך ממשיכים עד שמגיעים לביטוי עם המספרים המקוריים שעבורם חיפשנו $\mathrm{gcd}$.

אם f | 2c וגם f | 2d האם אני יכול להסיק מכך ש- ( f | (2c,2d  ?

תודה.

כרמז, מה יקרה אם פשוט נסמן $n = 2c$ וגם $m = 2d$? מה יודעים אם $f | n,m$?

מה שיודעים, זה ש-f מחלק כל צירוף לינארי של n ושל m? איך אני יכול להסיק מזה ש-f מחלק את (n,m) ?

לזה בדיוק התכוונתי. לגב מה שאתה מנסה להסיק: ראינו בכיתה תכונה חשובה של ה-$\mathrm{gcd}$. איך אפשר להציג אותו?

אפשר להציג אותו כצירוף לינארי של n ו-m??????????

שאלה 4 סעיף ג'

שתיי שאלות:

1. האם אני יכול לומר שקיים מספר x כך ש- x|a+b וגם x|a-b? אם כן, למה?

2. במידה ואני יכול לטעון את מה שכתבתי בשאלה 1, ובמידה והראיתי ש- x|2d, האם אני יכול לומר ש- zz (a+b,a-b) | 2d zz ? אם כן, למה?

הערת עריכה בויקי: אפשר לייצר רשימה ממוספרת על ידי שימוש בסולמית (#) בתחילת השורה.

1. לא לגמרי הבנתי את השאלה: לכל זוג מספרים הגדרנו את הממ"מ, ובכל מקרה $1$ תמיד מחלק כל מספר. בגלל זה, אפשר להתחיל את הפתרון עם הנחה כמו "יהי $e$ מחלק משותף (לאו דווקא מקסימלי) של $a+b$ ושל $a-b$..."
2. הרמז הוא שאפשר להשתמש בשאלה 4 סעיף ב' כדי לפתור את הסעיף הנוכחי. מה אתה יודע על הסכום וההפרש של $a+b$ ושל $a-b$?

מה שאני יודע שזה ש-$e$ מחלק גם את הסכום שלהם וגם את ההפרש שלהם. כלומר את $2a$ ואת $2b$.

מצוין! מה זה אומר שמתקיים $e|2a,2b$? את מה עוד $e$ מחלק?

את $gcd(2a,2b)$???? למה?

שאלה

אם p מספר ראשוני, שלא מחלק את המספר a, למה נובע מכך ש- 1=(a,p) ? למעשה על מנת להגיד שהמחלק המשותף המקסימלי של a ו-p הוא 1, אני צריך לדעת גם ש-p לא מחלק את a, אבל גם ש-a לא מחלק את p. a לא מחלק את p מהסיבה ש-p ראשוני, ולכן בסה"כ a לא מחלק את P , ו-p לא מחלק את a ולכן המחלק המשותף המקסימלי הוא 1?

זה ההסבר?

יש כאן קצת סלט. קודם כל, רקע: עבור כל $n$ מתקיים $n|n$ וכמו כן $1|n$. כאשר אנחנו מחפשים $\mathrm{gcd}$ צריך למצוא את המספר הטבעי הגדול ביותר שמחלק גם את $p$ וגם את $a$. המספרים הטבעיים היחידים שמחלקים את $p$ הם כידוע רק $1$ ו-$p$. נתון כי $p$ לא מחלק את $a$, כלומר הוא לא מקיים את התנאי שנדרש להיות $\mathrm{gcd}$ שדורש לחלק את $a$. לכן נקבל $(a,p)=1$.

שאלה 6 בתרגיל 1

מה הכוונה למצוא מס' שלם חיובי $x$ כך ש- $17x = 1 (\bmod{53})$

לא ברור לי מה הכוונה ומה המשמעות של ה-$\mod 53$ הזה..

נא להשתמש בכפתור לנוסחאות מתמטיות. המשמעות של $\mod$ הוא לומר כי מדובר במשוואה מודולו $53$. כלומר מבקשים למצוא מספר $x$ כך שאם תכפול אותו ב-$17$ תקבל מספר שבחלוקה ב-$53$ תקבל שארית $1$.

תרגיל 1 שאלה 4 סעיף ב'

אם הוכחתי ש $e\mid ad \wedge ad\mid e$

כאשר:

$d=gcd(b,c)$ ו- $e=gcd(ab,ac)$

האם אני יכול להסיק מכך ש- $e=ad$ וכך לסיים את ההוכחה?

אם לא, איך אני עושה את שאלה 4 ב'?

זה אמור לנבוע מההגדרה של מחלק את: נאמר ש-$a\mid b$ אם קיים $c\in\mathbb{Z}$ כך ש-$ac=b$. חיים רוזנר 12:37, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

אם $a\mid 0$ למה שווה $a$? ואם $0\mid b$, למה שווה $b$?

אם אפשר גם הסבר קצר, זה יועיל.

גם כאן כדאי לחזור להגדרה של מחלק את, המופיעה במענה לשאלה הקודמת. חיים רוזנר 12:43, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

תרגיל 2 שאלה 1 סעיף ב'

אם אני רוצה להראות אסוציאטיביות, אני צריך לקחת 3 מטריצות כלליות מהצורה של איברי הקבוצה שבשאלה?

ואז ממש לעשות את הכפל בין 3 המטריצות, כאשר בפעם הראשונה אני כופל קודם את השתיים השמאליות ובפעם השנייה קודם את השתיים הימניות וצריך

לראות האם אני מקבל אותה תוצאה?

ושאלה שנייה, כשאני בודק אם קבוצה עם פעולה היא חבורה למחצה למשל (או מונויד או חבורה...אחרי הכל אלה מקרים פרטיים של חבורות למחצה), אני צריך לבדוק בבדיקה של האסוציאטיביות, האם התוצאה שאני מקבל היא בקבוצה?

כלומר כשבודקים אסוציאטיביות, לא צריך בין היתר לבדוק שכשאני מכפיל את השניים הראשונים ואז את השלישי, או את הראשון בשניים השניים, אז התוצאה שמתקבלת היא אכן בקבוצה?

לשאלתך הראשוונה: כן. לשאלתך השנייה. בכל מקרה צריך לבדוק שהפעולה סגורה. אל תבלבל את זה עם אסוציאטיביות.

שאלה על תרגיל 1 שאלה אחרונה סעיף ב'

השאלה הולכת כך:

מצאו שלם $a$ כך ש:

$a\equiv 1 (mod 11)$

$a\equiv 2 (mod 3)$

$a\equiv 4 (mod 5)$

כמה שאלות:

1. אני אמור בהתחלה למצוא a רק עבור שתיי משוואות כלשהן מתוך השלוש? לא חשוב איזה שתיי משוואות?

2. נניח אני מוצא פתרון ל-2 המשוואות הראשונות (האמת שאלה לא בדיוק משוואות אני חושב...כי זה לא סימן שווה)

בכל אופן, היות ו-$(11,3)=1$ , אני יכול להשתמש במשפט השאריות הסיני.

מה שאני צריך לעשות, זה למצוא צירוף לינארי של 11 ו-3 כך שיתקבל 1:

לכן $11\cdot (-1)+3\cdot 4=1$ . אגב, המקדמים של 11 ו-3 בצירוף לינארי שנותן 1, הם יחידים?

לכן

$a=11\cdot (-1)\cdot 2+3\cdot 4\cdot 1$

אבל 10- מודולו 11 שווה 1? כמה זה 10- מודולו 11?

וכמה זה 10- מודולו 3?'

אפשר עזרה בשאלה 1 ובשתיי השאלות המודגשות שבשאלה 2?

תרגיל 2 , שאלה 1 סעיף ב'

הראיתי שמתקיימת אסוציאטיביות ושקיים איבר יחידה.

כעת אני רוצה להראות שכל איבר הוא הפיך. על מנת לטעון את זה, אני צריך לדעת שקבוצת המטריצות הזו, היא קבוצה של מטריצות הפיכות.

איך אני מסביר את זה?

האם התנאי של דטרמיננטה שונה מאפס מתקיים כאן? במטריצות $2 \times 2$ די קל למצוא את המטריצה ההופכית. יש לשים לב שלא מספיק לומר כי מטריצה במבנה האלגברי הזה היא הפיכה, שהרי זה רק אומר שיש לה איבר הופכי באוסף של כל המטריצות. יש להראות כי האיבר ההופכי שייך למבנה האלגברי הזה.

תרגיל 2 שאלה 3 סעיף א'

1. האם אני יכול לומר שיש אסוציאטיביות מהסיבה שכפל מטריצות הוא אסוציאטיבי?

או שאני חייב לקחת שלוש מטריצות כלליות מהצורה של המטריצות בקבוצה G, ולהראות שמתקיימת תכונת האסוציאטיביות?

2. כל איבר ב-G הוא מטריצה בעלת דטרמיננטה שונה מאפס (כי זו מטריצה משולשית ולכן הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון, כלומר 1).

לכן לכל מטריצה בקבוצה יש מטריצה הופכית ולכן כל איבר בקבוצה הוא הפיך. מדוע אבל המטריצה ההפוכה של כל אחת מהמטריצות ההפיכות, שייכת גם היא לקבוצה?

איך אפשר להוכיח את זה?

1. מותר להניח (ולכתוב) כי כפל מטריצות הוא אסוציאטיבי, אבל צריך להסביר למה זה מספיק. יש לשים לב כי צריך להראות שהפעולה מוגדרת היטב, וכי כפל של שתי מטריצות מן הקבוצה $G$ אכן שייך לקבוצה $G$. לאחר מכן, אפשר להראות אסוציאטיביות.
2. אתה צודק כי קל לראות שהמטריצות הן הפיכות, ויותר חשוב מכך אתה צודק שזה לא מספיק. העובדה שמטריצה הפיכה רק מספר לנו שיש לה איבר הופכי במונואיד של כל המטריצות (לגבי כפל מטריצות). במקרה של $G$ צריך למצוא את המטריצה ההופכית של מטריצה $A \in G$ ולהראות שהיא מן הצורה של מטריצות ב-$G$. מציאת המטריצה ההופכית היא יחסית קלה כי המטריצות ב-$G$ הן בצורה "נוחה", ואז רואים מה היא צורת המטריצה ההופכית.

תרגיל 2 שאלה 3 סעיף ב'

יש שם שתי חבורות:

$H$ עם הפעולה $*$

$G$ עם הפעולה $\cdot$

$\cdot$ אני משער שזה פעולת הכפל הרגילה.

אבל מה זה $*$? כיצד מוגדרת הפעולה הזו?

(ערכתי את השאלה להוספת סימונים מתמטיים)

קודם כל, ההשערה אינה נכונה, כי אנחנו לא יודעים דבר על איברי $G$. כאשר כתוב למשל $(H,*)$ הכוונה לסימון הרגיל של חבורה שמוגדרת על ידי קבוצת האיברים $H$ והפעולה $*$. כך גם עם $(G,\cdot)$ שבה הכוונה לחבורה כלשהי עם איברים מהקבוצה $G$ והפעולה $\cdot$ שיכולה להיות כל פעולה שמקיימת את הדרישות מפעולה של חבורה.

תרגיל 2 שאלה 4ג'

הטענה אומרת שלכל איבר במונואיד יש הפיך מימין.

זה אומר שלכל איבר a ב-M, קיים b ב-M כך ש-a*b=e?

קצת מבלבל אותי הניסוח של השאלה והניסוח של ההגדרה של איבר הפיך מימין.

אתה צודק לגבי ההגדרה של קיום הפיך מימין לכל איבר: לכל $a \in M$, קיים $b \in M$ כך ש-$a*b=e$. יש להוכיח או להפריך האם במקרה זה $(M,*)$ הוא חבורה. אגב, השאלה הזאת סימטרית לחלוטין לו היינו בוחרים לדבר על הפיך משמאל.

תרגיל 2 שאלה 7

בשאלה 7 א', הראיתי ש-S הוא האיבר האדיש ב-A.

אני חושב שהתכונה הדרושה לכך ש-A תיהיה חבורה אינה מתקיימת. כלומר התכונה שלכל איבר ב-A קיים איבר הפיך לא מתקיימת לדעתי.

איך אני מראה את זה!? אני צריך להצביע על איבר ב-A שהחיתוך שלו עם כל איבר אחר מ-A לא נותן את S?

נניח אני מסתכל על הקבוצה הריקה. למעשה זו הקבוצה היחידה שאני יכול להסתכל עליה כי אני לא מכיר שום איבר ב-A.

החיתוך של הקבוצה הריקה עם כל איבר, הוא הקבוצה הריקה עצמה. ואם הקבוצה הריקה שונה מ-S, אזי לקבוצה הריקה אין איבר הפיך.

אבל איך אני יכול לדעת שהקבוצה הריקה שונה מהקבוצה S????

מצוין. מחלקים למקרים: אם $S$ היא הקבוצה הריקה אנחנו נקבל מקרה די משעמם, כי קבוצת החזקה של הקבוצה הריקה מכילה איבר אחד (הקבוצה הריקה). אחרת, אם $S$ היא לא הקבוצה הריקה, אז מצאת איבר לא הפיך.

תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב'

הפעולה "נקודה" היא פעולת החיתוך מהסעיף הקודם? או שזו פעולת הכפל הרגיל?

הפעולה "נקודה" היא פעולה שאתם צריכים להגדיר. להסתכל על הסעיף הקודם זה רעיון לא רע בכלל.

תרגיל 2 שאלה 2

לא ברור לי מה זה Z2,Z7 ובכלל מה זה Zn. האמת שגם דובר על זה בהרצאה וגם הנושא של מחלקות שקילות הוזכר בעניין הזה וזה ממש לא מובן לי.

אם אפשר הסבר מפורט על זה, ועל מה שצריך להבין בזה, זה מאד יועיל!

חשבון מודולרי הוא חשבון עם פעולות חיבור וכפל מודולו n. אנחנו מגדירים את הקבוצה $\mathbb Z_n$ להיות הקבוצה $\mathbb Z_n=\{0,1,\ldots,n-1\}$. על קבוצה זו אנחנו מגדירים פעולות חיבור וכפל, תחת יחס השקילות מודולו n. יש טענה האומרת שהחיבור והכפל האלה מוגדרים היטב. עבור כל n, מתקיים ש-$(\mathbb Z_n,+)$ היא חבורה, וש-$(\mathbb Z_n,\cdot)$ הוא מונואיד. משפט שמוכיחים בתחילת אלגברה לינארית קובע שעבור p ראשוני, $\mathbb Z_p$ הוא שדה; ובניסוח אחר, המונואיד $(\mathbb Z_p \setminus \{0\},\cdot)$ הוא חבורה.

השקילות שעליה דברנו היא השקילות מודולו n, הקובעת ששני מספרים שלמים a ו-b הם שקולים אם מתקיים $n \mid a-b$. חיים רוזנר (שיחה)

תרגיל 3, שאלה 1

מהי הפעולה עבור החבורות U9 ו U12 ?

הפעולה היא כפל מודולו n. אנחנו הגדרנו אותן כחבורת ההפיכים במונואיד הכפלי Zn. חיים רוזנר (שיחה) 12:01, 12 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה לגבי תרגיל בית מס' 4, שאלה 4

רציתי הבהרה לגבי שאלה 4 בתרגיל 4, ובכלל, באופן כללי: בסעיף 1 נדרשתי להראות ש-G כפי שהוגדרה שם היא חבורה. האם מותר לי להשתמש בקריטריון המקוצר כדי להראות ש-G היא תת חבורה של $GL_3(\mathbb{Z}_3)$ ובזה הוכחתי שהיא חבורה, או שמא אני צריך להראות את כל 4 האקסיומות, כי הדרישה היא להראות ש-G חבורה ולא תת חבורה?

לפי הגדרה, תת־חבורה היא חבורה בעצמה (לגבי הפעולה המצומצמת). לכן אם אתה מראה כי אוסף מטריצות כלשהו הוא תת־חבורה של $GL_3(\mathbb{Z}_3)$, הוכחת כי הוא חבורה לגבי כפל מטריצות. כדי להוכיח שמשהו הוא תת־חבורה מותר להשתמש בקריטריון המקוצר.

אוקיי, תודה.

תרגיל 4 שאלה 2: החבורה zz (Z24,+) zz

הכוונה לחיבור מודולו 24? או לחיבור מספרים רגיל?

אפשר כיוון?? לא ברור לי איך פותרים את השאלה הזו.

החיבור בחבורה $\mathbb Z_{24}$ הוא מודולו 24, כמו תמיד. הסימון $+$ הוא קיצור, במקרה הזה, ל-$+_{24}$. חיים רוזנר (שיחה) 07:00, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 3

כתוב: "נסמן ב-(SLn(F את חבורת המטריצות עם דטרמיננטה 1".

לא היו אמורים לכתוב "את קבוצת המטריצות עם דטרמיננטה 1"?

הרי אם אומרים שזו חבורת המטריצות עם דטרמיננטה 1, וזו הרי גם תת קבוצה של GLn, ולכן זו תת חבורה.

עד לפתרון השאלה, יש להתייחס לחבורה הלינארית המיוחדת כקבוצה. לאחר הפתרון, זו חבורה. חיים רוזנר (שיחה) 07:02, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 4 סעיף 1

אני רוצה להראות ש-G היא תת-חבורה של GLn ע"י הקריטריון המקוצר לתת חבורה.

G כמובן לא ריקה (מכילה למשל את מטריצת הזהות).

הבעיה שלי, היא כשאני בא להוכיח סגירות של G ביחס לכפל מטריצות.

לקחתי 2 מטריצות מהצורה של המטריצות ב-G והכפלתי אותן זו בזו באופן הבא:

$\begin{pmatrix} 1 &a0 &b0 \\ 0 &1 &c0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &a1 &b1 \\ 0 &1 &c1 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &a1+a0 &b1+a0c1+b0 \\ 0 &1 &c1+c0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

איך אני יודע האם המטריצה שקבלתי מקיימת שאיבריה מעל האלכסון הראשי, שיכים ל-Z3?

מי אמר שהמספרים a1+a0, b1+a0c1+b0,c1+c0 הם מספרים בין 0 ל-2? הרי הם צריכים להיות ב-Z3, ו-{Z3={0,1,2

כל פעולות החיבור והכפל של איברי $\mathbb Z_3$ הן פעולות בינאריות מוגדרות היטב, דהיינו יש סגירות ב-$\mathbb Z_3$. חיים רוזנר (שיחה) 07:04, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 4

איך בודקים האם לכל איבר ב-G קיים הפכי, ושההפכי אכן ב-G?

אני מתחיל את ההוכחה ע"י כך שאני לוקח איבר כלשהו ב-G.

האיבר הזה הוא מטריצה הפיכה שמעל האלכסון הראשי שלה מופיעים מספרים a,b,c כך ש- zz 0<=a,b,c<=2 zz

היות והאיבר הזה הוא מטריצה הפיכה, בהכרח קיימת לו מטריצה הפכית.

לכן לכל איבר ב-G, קיים איבר הפכי.

איך אני מראה שאותו איבר הפכי שייך לקבוצה G?

ראשית, שים לב לתשובתי לשאלה הקודמת. כל הפעולות ב-$GL_3$ הן סגורות. כעת, ניתן לחשב הופכי למטריצה באחת השיטות הסטנדרטיות, נניח אלו שמופיעות בויקיפדיה, או לנסות לפתור ידנית. לפותרים ידנית, ניתן להציע רמז, והוא שזה אמור להצליח, ולפיכך ניתן להניח שההופכי הוא מהצורה הרלוונטית, ואז לחפש אותו. חיים רוזנר (שיחה) 07:23, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 4

איך אני מוצא את הסדר של כל איבר!?!?!

G קבוצה בעלת 27 איברים!! a,b,c יכולים לקבל (כל אחד) 3 ערכים: 0,1,2.

סך כל האיברים ב-G הוא 3x3x3=27.

באמת מצפים שאבדוק את הסדר של כל איבר???? אלה 27 איברים!

יש צורה כללית לאיברים בקבוצה זו. התרגיל לא היה לחשב את הסדר של כל איבר ואיבר, אלא להוכיח מה הסדר של כל איבר ואיבר. אז מניחים שיש לנו איבר נתון, ומנסים להוכיח שהסדר הוא 3. זה אמור לעבוד. חיים רוזנר (שיחה)

ושאלה שנייה:

לא הבנתי עדיין מה זה בדיוק סדר של חבורה ומה ההבדל בין סדר של חבורה לסדר של איבר?

כיצד אני מוצא סדר של חבורה?

אני ממליץ לעיין בויקיפדיה העברית על שאלה זו. שימו לב שאנחנו, למען הבלבול, מסמנים סדר של איבר וסדר של חבורה באותו סימן, ושם יש סימון אחר לסדר של איבר. חיים רוזנר (שיחה) 07:29, 24 בנובמבר 2013 (EST)

ציקליות

אפשר עזרה בשאלה הבאה:

האם החבורות הבאות הן ציקליות או לא (האמת שבשאלה לא ציינו האם מדובר על חיבור או על כפל). א'. Z10XZ15 ב'.Z5XZ2 ג'. U20 ד'. U8XU9

האמת יש תשובות לשאלות האלה אבל אני לא ממש מבין את התשובות.

איך למשל אני עושה את סעיף א'?

מדובר במכפלה הקרטזית הבאה: zz {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}X{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14} zz כמות הזוגות הסדורים בקבוצה הזו היא גדולה מאד. איך בכלל אני בודק אם קיים זוג סדור שיוצר את קבוצת הזוגות הסדורים הזו???

השאלה לקוחה מכאן: http://math-wiki.com/images/8/85/Hw2AA2013.pdf ראיתי את התשובה ואני לא מבין אותה. לא ברור לי מה אמורים לעשות בשאלה הזו...

אכן תרגיל יפה. אנחנו הראנו בכיתה (לדעתי בכל הקבוצות כבר הגיעו לזה) את המשפט הבא:

תהי G חבורה, ויהיו a.b איברים בחבורה. נניח שאיברים אלו מקיימים: ab=ba וגם $<a>\cap<b>=\varnothing$. אזי הסדר של ab הוא הכמק"ב של הסדרים של a ושל b. כך זה אמור להיות יותר קל לפתור שאלות כאלה. כמובן יש לזכור שכל ת"ח של ציקלית היא ציקלית. בהצלחה, חיים רוזנר (שיחה) 07:37, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 2

היי, החבורות הנוצרות מהמחלקים של 24 הן גם תת חבורות של Z24 וברור גם למה. האם ניתן גם לומר שהחבורות האחרות (שהיוצר שלהן לא מחלק את 24) הן גם תת חבורות של Z24 והם בעצם Z24 עצמו ? כי לדוגמא החבורה הציקלית <5> עם פעולת החיבור + (מודולו 24) הרי יוצרת את החבורה Z24, השאלה היא אם זה נכון לומר זאת.

תודה

נדמה לי שהתערבבו שני נושאים יחד (שיש ביניהם קשר): החבורה $(\mathbb{Z}_{24},+)$ והחבורה $(U_{24},\cdot)$. כמו בתשובה לשאלה אחרת בדף זה, יש לזכור שכל תת־חבורה של חבורה ציקלית היא ציקלית. זה העיקר שנדרש כדי לענות על השאלה. תת־החבורה שנוצרת על ידי $5$ היא אכן כל $\mathbb{Z}_{24}$, כלומר מדובר ממש באותה קבוצת איברים עם אותה פעולה. האם אתה יכול למצוא קריטריון מתי תת־חבורה שנוצרת על ידי איבר אחד זו כל החבורה במקרה זה?

חשוב לשים לב שזה לא תמיד המקרה, מה למשל היא תת־החבורה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left<16\right>

שנוצרת על ידי $16$, שאינו מחלק את $24$?

תרגיל 4 שאלה 5

האם החבורה G בסעיף 2 היא אותה חבורה $G=\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ מסעיף 1?

כן. אותה חבורה.

שאלה לגבי החבורה הדיאדרלית

בתרגול (וגם בהרצאה) ראינו את המשפט:

אם G חבורה סופית, הסדר של כל תת חבורה מחלק את סדר החבורה.

מזה נבע ש: $a^{|G|}=e$

למה בחבורה הדיאדרלית זה לא מתקיים?

היא סופית, כי יש בה תמיד שלושה איברים: סיבוב, שיקוף ואיבר יחידה, אבל ברור שלא מתקיים לכל $a\in G$ ש-$a^{|G|}=e$

(לא מרצה / מתרגל) מדוע זה לא מתקיים? לכל חבורה דיהדראלית $D_n$, שעוצמתה $2n$, הסדר של סיבוב הוא $n$, הסדר של שיקוף הוא 2 והסדר של איבר היחידה, כידוע, הוא 1. כל חזקה של סיבוב היא עדיין סיבוב, ולפי משפט הסדר שלו מתחלק בסדר של הסיבוב המקורי, n. כל הכפלה של חזקה של סיבוב עם שיקוף אף היא מסדר הקטן מ־$2n$: נסמן סיבוב עם $\sigma$ ושיקוף עם $\tau$, ואז מתקיים $\tau\cdot\sigma^m\cdot\tau=\sigma^{-m}$, ובאמצעות זה ניתן להוכיח שאכן הסדר אינו גדול מ־n (מראים שהחזקה ה־n־ית היא איבר היחידה). --גיא בלשר (שיחה) 12:49, 27 בנובמבר 2013 (EST)

נכון. בחבורה הדיהדרלית $D_n$ מתקיים לכל איבר $a$ כי $a^{|G|}=a^{2n}=e$. לשואל המקורי: האם יש לך מקרה ספציפי שבו אתה חושד שזה לא מתקיים? --Mathzeta2 (שיחה) 09:09, 29 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה לגבי תת חבורה נורמלית

האם זה נכון שכל תת חבורה נורמלית היא אבלית? כלומר איבריה מתחלפים עם כל איבר ב-G?

לא. למשל $SL_{n}(F)$ היא תת־חבורה נורמלית של $GL_{n}(F)$, אבל היא לא אבלית עבור $n > 2$. דוגמה אחרת היא לקחת מכפלה ישרה של שתי חבורות $G_1,G_2$ ולשים לב כי $G_1 \times \{e_2\}$ היא תת־חבורה נורמלית של $G_1 \times G_2$. אם נבחר את $G_1$ להיות חבורה לא אבלית, סיימנו.

אולי נוצר בילבול מכך שלתת־חבורה נורמלית $N \vartriangleleft G$ מתקיים לכל $g \in G$ כי $gN=Ng$. זה לא אומר כי לכל $n \in N$ מתקיים $gn=ng$. זה כן אומר כי לכל $n \in N$ קיים $k \in N$ כך ש- $gn=kg$.

תרגיל 5 שאלה 8

האם אפשר להוכיח את הטענה שם באינדוקציה, או שאי אפשר להפעיל אינדוקציה על איחוד אינסופי?

למה הכוונה ב"להפעיל אינדוקציה"? האם למשפט הקומפקטיות (Compactness theorem)? האם יש לך דרך יותר ישירה להוכחה? כלומר לפי ההגדרה של חבורה פשוטה.

לא ברור לי איך מוכיחים את הטענה הבאה:

$G$ חבורה. ו-$a\in G$.

מדוע קיימת תת-חבורה ציקלית של $G$ שנוצרת ע"י $a$?

איך מראים ש- <a> היא תת חבורה ציקלית של G?

ממש לפי הגדרות. בסימון עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left<S\right>

סימנו את תת־החבורה שנוצרת על ידי האיברים בקבוצה $S$. אם $S$ מכילה איבר אחד, נאמר $S=\{a\}$, אזי מדובר בתת־חבורה שנוצרת על ידי איבר אחד, כלומר ציקלית (או בדרך אחרת: כל איבר של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left<a\right>
הוא מן הצורה $a^k$ , חזקה של $a$).

ואם $S=\{1,2\}$ אז עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left<S\right>

היא תת החבורה שנוצרת ע"י האיברים 1 ו-2?

כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left<1\right>

ו-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left<2\right>

?

או שלא הבנתי נכון?

הויקי זיהה את השימוש ב-<S> בתור עיצוב פונט של קו חותך (strikethrough), כדאי להמנע מזה...

כדאי לחזור להגדרה של תת־חבורה שנוצרת על ידי קבוצת איברים: Generating set of a group או Subgroup generated by a subset. הסימון עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left<S\right>

במקרה של $S=\{1,2\}$ הוא אכן תת־החבורה שנוצרת ע"י האיברים 1 ו-2. אבל אני לא מבין למה אתה מתכוון כאשר אתה כותב "כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left<1\right>
ו-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left<2\right>

".

לא ברור לי מה פירוש $<S>$ היא תת החבורה שנוצרת ע"י האיברים בקבוצה S. אפשר בקשה דוגמה קונקרטית? עבור המקרה ש-S מכילה את האיבר a, הבנתי מה זה אומר. מה המשמעות של ההגדרה הזו במידה ו-S מכילה יותר מאיבר אחד????????????????

ושאלה נוספת, למה $<S>$ היא תת חבורה?

אנחנו הגדרנו את $<S>$ להיות הקבוצה של מכפלה סופית של איברים מהצורה $s^n$ עבור $s\in S,n=\pm 1$. ברור שזו תת-קבוצה של $G$, וההוכחה שזו ת"ח היא תרגיל נחמד. נניח, לשם ההדגמה ש-$S=\{a,b,c\}$. אז איבר לדוגמא ב-$<S>$ הוא $aaab^{-1}a^{-1}bbbbc^{-1}accc$. יש, כמובן, עוד איברים ב-$<S>$. אני מקווה שזו דוגמא מספיק קונקרטית. חיים רוזנר (שיחה) 17:58, 1 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה

נניח שנתונה חבורה כלשהי A, ואיבר a ב-A.

למה אם אבצע את הפעולה שבאמצעותה מוגדרת החבורה A, מספר כלשהו של פעמים, מובטח לי שבשלב מסוים אקבל את איבר היחידה e?

איך בדיוק אני מוכיח את זה????????????????????

כשהגדרנו סדר של איבר, כלל לא הובטח שבשלב מסוים תקבל את איבר היחידה. הראנו הכיתה מספר חבורות שבהן יש איברים מסדר אינסופי, למשל $(\mathbb{Z},+)$.

תרגיל 4 שאלה 4 סעיף 2

הוכחתי שהסדר של כל איבר ב-G הוא 3.

איך מכאן אני מגיע לסדר של החבורה G?

מה אני יודע על הקשר בין הסדר של כל איבר ב-G (שהוא כאמור 3), לבין הסדר של החבורה G?

כדי למצוא את סדר החבורה לא מספיק לדעת מה הם הסדרים האפשריים של האיברים. פיסת מידע שאולי תעזור כדי לבדוק את התשובה היא שכעת אתה יודע שסדר החבורה מתחלק ב-3. חוץ מזה, לא ייתכן שהסדר של כל איבר הוא 3, הרי יש את איבר היחידה (ראה את ניסוח השאלה).

סדר החבורה הספציפית הוא מספר המטריצות מן הצורה שבשאלה. כמה כאלו יש? אילו ערכים $a,b,c$ יכולים לקבל?

אני מניח שיש 27 אפשרויות. לכן סדר החבורה הוא 27. 3 אפשרויות עבור a, 3 עבור b, 3 עבור c.

ציינת שסדר החבורה מתחלק ב-3.

מה הניסוח המדוייק של המשפט שעליו הסתמכת?

התכוונתי ש-3 מחלק את סדר החבורה. מקווה שעכשיו זה יותר ברור. בכיתה (ואולי גם בתרגול) כבר ראינו כי סדר תת־חבורה מחלק את סדר החבורה (אם היא סופית כמובן).

תרגיל 4 שאלה 4 סעיפים 3+4

שאלה 4 סעיף 3: אני רוצה להסביר מדוע החבורה G שבתחילת השאלה, מקיימת :gh)^3=g^3h^3).

ההסבר שלי הוא שבאגף שמאל gh, זה איבר ב-G (מסגירות G). כעת אני מכפיל אותו בעצמו 3 פעמים, ומקבל את מטריצת היחידה (לפי סעיף 2). באגף ימין אקבל אותו דבר כי g^3, יתן את מטריצת היחידה (לפי סעיף 2), כנ"ל לגבי h^3. וכשאכפול את מטריצת היחידה בעצמה פעמיים, אקבל את מטריצת היחידה. כלומר הראיתי ששניי האגפים שווים למטריצת היחידה.

כעת על מנת להסביר ש-G אינה אבלית, אני יכול לומר ש-G היא קבוצה של מטריצות וידוע שכפל מטריצות אינו חילופי? האמת שכאן זה כפל מטריצות מודולו 3...

הדרך הנוחה להראות שאין קומוטטיביות (או במקרה שלנו: אבליות) היא להביא דוגמא נגדית. חיים רוזנר (שיחה) 18:08, 1 בדצמבר 2013 (EST)

עכשיו בקשר לסעיף 4... אין לי ממש כיוון.. אני רוצה להראות ש-gh=hg לכל h,g ב-G.

כיצד אני מתקדם מהנתונים שיש לי??

אני מנוע מלענות לשאלה זו, מכיוון שזו 'חצי תשובה'. אבל אי"ה יפורסם השבוע פתרון ממש יפה. חיים רוזנר (שיחה) 18:08, 1 בדצמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 5 סעיף 3

התחלתי להוכיח באופן הבא: הנחתי בשלילה ש-$H,K$ תת-חבורות לא טריוויאליות של $G$, כך ש- $G=H\cup K$ לא יתכן ש- $H\subseteq K$ או ש- $K\subseteq H$.

שאלה:

אני לא בטוח לגבי ההסבר לכך שזה לא יתכן...הסיבה שזה לא יתכן, זה בגלל שאם בלי הגבלת הכלליות, $K\subseteq H$, אז מההנחה בשלילה, נובע ש $G=H\cup K$ ולכן $H=K$. כלומר $H$ תת חבורה טריוויאלית.

האם ההסבר הזה נכון?

טענה מבדידה: אם $K\subseteq H$ אז $H=H\cup K$. זה אמור לעזור. חיים רוזנר (שיחה) 18:17, 1 בדצמבר 2013 (EST)

אמשיך את ההוכחה:

מכך ש-$H\subseteq K$ וש $K\subseteq H$ נובע שנוכל לקחת איבר

$a\in H-K$ ואיבר $b\in K-H$.

כעת אני רוצה לטעון שאם $ab\in H$ אזי $b\in H$ וכך לקבל סתירה.

מה שאני לא ממש יודע, זה כיצד איך להסביר את הטיעון הזה. מדוע נכון לומר שאם $ab\in H$ אזי $b\in H$?

גם כאן התשובה תתפרסם אי"ה בבהירות בסוף השבוע, עם פתרון התרגיל. חיים רוזנר (שיחה) 18:17, 1 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה 5 סעיף 1 (תרגיל 4)

אפשר בבקשה הסבר על סעיף 1 בשאלה 5?

אני לא מבין מה אני צריך לעשות שם.

zz Z2xZ2={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}  zz ?

מה הכוונה למצוא את כל התת חבורות הציקליות של הקבוצה שכתבתי הרגע...? ואיך עושים את זה בדיוק?

תודה מראש וחג שמח.

חוזרים להגדרה של חבורה ציקלית, ומחפשים בידיים, בכוח גדול וביד חזקה. חיים רוזנר (שיחה) 18:20, 1 בדצמבר 2013 (EST)

קוסטים

בכיתה דובר על כך שאם G חבורה ו-H תת-חבורה של G, אז מגדירים יחס g1~g2 (עבור כל שניי איברים ב-G) אם קיים h ב-H כך ש-g2=hg1 .

אני מבין כיצד מוכיחים שזה יחס שקילות.

אבל לא ברור לי מהן מחלקות השקילות.

אפשר בבקשה הסבר? אם אפשר דוגמה שתמחיש את העניין זה יועיל.

תודה רבה וחג שמח.

בגדול, מחלקות שקילות הן קבוצות האיברים שמתייחסים זה לזה על ידי יחס השקילות. אחת התכונות של יחס שקילות היא שניתן בעזרתו לחלק את הקבוצה הגדולה לקבוצות של איברים המתייחסים זה לזה. החלוקה הזו היא זרה, כלומר כל שתי מחלקות הן שוות או זרות זו לזו. פירוט טוב יותר, עם דוגמאות, ניתן למצוא כרגיל בויקיפדיה. חיים רוזנר (שיחה) 18:26, 1 בדצמבר 2013 (EST)

תרגיל 5 שאלה 1 א'

על מנת למצוא את כל המחלקות הימניות של H ב-G, עליי לקחת את האיבר הראשון ב-G, ולכפול אותו בכל איברי H. זו תיהיה מחלקה ראשונה.

לאחר מכן, לקחת את האיבר השני ב-G ולכפול אותו בכל איברי H. זו תיהיה המחלקה השנייה.

לאחר מכן, לקחת את האיבר השלישי ב-G ולכפול אותו בכל איברי H. זו תיהיה המחלקה השלישית.

וכו'...

במידה וכך עושים את זה, אז במקרה של סעיף א', יהיו 20 מחלקות??

אמורים לרשום את כל המחלקות? אין דרך קצרה לעשות את זה?

הרי בסעיף ב' או ו' לא אסיים לפתור את השאלה בדרך שהצעתי כאן...יש אינסוף איברים גם ב-G וגם ב-H.

בסעיף א' שתיי החבורות סופיות.

כידוע, בדרך כלל יש יותר מדרך אחת לרשום מחלקת שקילות (אלא אם H היא החבורה הטריוויאלית). המטרה כאן היא לרשום את כולן, על ידי מציאת קבוצת הנציגים שלהן. אם יש אינסוף מחלקות שקילות, כנראה שיש דרך נחמדה לרשום את כולן; אם יש מספר סופי אז יש מקום לעבודה קשה, עד לכיסוי של כל המחלקות השונות. חיים רוזנר (שיחה) 18:32, 1 בדצמבר 2013 (EST)

סדרים

איך מוכיחים את הטענה הבאה:

$G$ חבורה.

$g\in G$.

מניחים כי $o(g)$ סופי.

צריך להוכיח:

$\left |<g> \right |=o(g)$.

שאלה:

איך יתכן שמספר האיברים ב $\left |<g> \right|$ הוא סופי?

הרי $<g>$ מוגדרת להיות :

$<g>={g^0,g^1,g^2,g^3,g^4,......g^{-1},g^{-2},g^{-3},g^{-4},....}$.

כלומר זו קבוצה בעלת אינסוף איברים.

איך יתכן, ש-מספר האיברים ב $\left |<g> \right|$ הוא סופי?..הרי הרגע הראיתי שזו קבוצה עם אינסוף איברים ע"פ הגדרתה.

יכול להיות שרשמת כאן איבר אחד יותר מפעם אחת, כפי שברציונליים מתקיים $\frac 1 2 =\frac 2 4$. חיים רוזנר (שיחה) 18:34, 1 בדצמבר 2013 (EST)

עזרה בהוכחת המשפט הבא:

אם $G$ סופית, אז לכל $g\in G$ מתקיים ש-$o(g)$ סופי.

ראיתי את תחילת ההוכחה ואת ההמשך לא הבנתי.

הוכחה:

נתבונן בסדרה: $g,g^2,g^3,g^4,....$.

מכיוון ש- $G$ סופית, בשלב כלשהו קיימים $a,b>0$ כך ש- $g^a=g^b$ .

בלי הגבלת הכלליות נניח ש-a<b , אז: $g^b=g^ag^{b-a}$.

איך אני ממשיך מפה ומסיים את ההוכחה???

בהמשך אתה מציב את שתי הנוסחאות האחרונות שמצאת זו בזו. נזכיר כאן שהטענה שסדר של איבר g הוא סופי היא שקולה לטענה שקיים מספר טבעי n כך ש-$g^n=e$, כי אז יש n מינימלי כנדרש. חיים רוזנר (שיחה) 18:41, 1 בדצמבר 2013 (EST)

לגראנז'

אם G חבורה סופית, ו-H<=G תת חבורה אז |H|/|G| . זה מה שאומר המשפט.

משהו בהוכחה לא מובן לי...

ההוכחה הולכת כך:

נניח שיש m קוסטים משמאל. לכל קוסט יש |H| איברים.

מה שלא ברור לי, זה למה |G| לא שווה ל-m

(m זה כאמור מספר הקוסטים)

הרי מה זה קוסט? לוקחים איבר ב-G, וכופלים אותו בכל איברי H. מתקבלת קבוצה שמהווה קוסט אחד.

לוקחים איבר שני ב-G, כופלים אותו בכל איברי H. מתקבלת קבוצה שמהווה קוסט שני.

לוקחים איבר שלישי ב-G, כופלים אותו בכל איברי H. מתקבלת קבוצה שמהווה קוסט שלישי. . . . לוקחים איבר n ב-G, כופלים אותו בכל איברי H. מתקבלת קבוצה שמהווה את הקוסט ה-n.

. . . מספר הקוסטים באופן הזה, יוצא כמספר איברי G.

יש לבדוק האם לא מנית כאן את אותה המחלקה יותר מפעם אחת. חיים רוזנר (שיחה) 18:54, 1 בדצמבר 2013 (EST)

טעות בתרגיל 5 שאלה 2

נכתב שם שצריך להוכיח:

$\forall h\in H, \forall g\in G, ghg^{-1}\in H \Leftrightarrow H\triangleleft G$

המשפט הזה נכון רק בכיוון הזה $\Leftarrow$, הכיוון השני לא נכון. כלומר בהינתן ש $\forall h\in H,\forall g\in G, ghg^{-1}\in H$ זה לא אומר ש-H היא תת חבורה נורמלית. אלא אם כן נתון מראש ש-H חבורה ולא סתם תת קבוצה של G.

לכן המשפט אמור להיות:

$H\leq G\wedge \forall h\in H, \forall g\in G, ghg^{-1}\in H \Leftrightarrow H\triangleleft G$

נכון, דהיינו יש להוסיף בתחילת השאלה "נניח H ת"ח של G. הוכיחו כי..." חיים רוזנר (שיחה) 18:54, 1 בדצמבר 2013 (EST)

טעות בתרגיל 5 שאלה 6 סעיף ב'

צריך שם להראות: אם $H<G$ כך ש: $S<H$ אזי $H\triangleleft G$

כדוגמא נגדית אפשר לקחת למשל את $S_5$, להגדיר את $H=\left \{(23),(32),(1)\right \}$ למשל כתת חבורה. עכשיו $S<H$ אבל $H$ לא תת"ח נורמלית.

האם חשבת את S, כל הקומוטטורים? לדעתי במקרה שלך לא מתקיים $S<H$. מעבר לכך, למיטב הבנתי רשמת ב-H את אותו האיבר פעמים (כי $(23)=(32)$ בכתיב מחזורים). אולי לא הבנתי את דבריך כראוי, ואינך משתמש בכתיב מחזורים. אינני מבין את הסתירה כהוגן. חיים רוזנר (שיחה) 18:54, 1 בדצמבר 2013 (EST)

טוב, עכשיו אני לא בטוח שהבנתי את הדרישה, תקן אותי אם אני טועה: צריך להוכיח שאם יש לי חבורה G ולה יש תת חבורה H, אז אם S היא תת חבורה של H, זה גורר ש-H נורמלית ב-G.

אם אכן ניסחתי נכון את הדרישה - אז אני לא מבין איך טענה כזאת יכולה להיות נכונה?

נגזר מהטענה הזאת שכל תת חבורה היא נורמלית.

הרי תת חבורת הקומוטטורים זו תת חבורה שאני יכול להגדיר על כל חבורה/תת חבורה. (אני פשוט לוקח כל שני איברים $x,y$ בתת"ח נתונה H, ומגדיר איבר חדש $x^{-1} y^{-1}xy$). במקרה הכי גרוע שבו החבורה המקורית שלי אבלית - אני אקבל ש-S טריוויאלית (אבל אז ברור ש-H נורמלית).

אז מה, כל תתי החבורות הן נורמליות?

יש לשים לב לניסוח השאלה. נתונה חבורה $G$ ומגדירים תת־חבורה ספציפית שלה $S$ (שבמקרה יש לה גם שם מיוחד, תת־חבורת הקומוטטור). כעת נמשיך לפי מה שאמרת: "אם $S$ היא תת חבורה של $H$, זה גורר ש-$H$ נורמלית ב-$G$".

כנראה מה שצריך לשים לב שמגדירים את $S$ לפי $G$. למשל, כפי שכתבת במקרה הכי גרוע (יש כאלו שיאמרו הכי טוב) שבה $G$ היא חבורה אבלית, אזי $S$ טריוויאלית ואז כל תת־חבורה $H$ של $G$ היא נורמלית. אכן, הערנו בכיתה כי כל תת־החבורות של חבורה אבלית הן נורמליות.

אולי כדאי לנסות לבדוק מי היא $S$ במקרה של חבורה לא אבלית קטנה שכבר מכירים, נאמר $G=D_3$. לחבורה הזאת יש תת־חבורות לא נורמליות, אזי בהכרח $S$ אינה תת־חבורה של אותן תת־חבורות.

תודה על התשובה המפורטת.

שני דברים: קודם כל, בשאלה מסומן $S<H$ ולא $S<G$. כלומר $S$ תת"ח של $H$ ולא תת"ח של $G$, כפי שציינת כאן.

דבר שני - ואולי זה מה שגורם אצלי לבלבול - רשמת "בהכרח $S$ אינה תת־חבורה של אותן תת־חבורות." והרי איך יתכן ש-S אינה תת חבורה? S היא מהגדרתה תת חבורה.

כלומר קבוצת כל הקומוטטורים של חבורה תמיד יוצרים תת חבורה.

בבקשה. סעיף א' הוא להוכיח כי $S$ היא תת־חבורה של $G$. זה נכון לכל חבורה. בסעיף ב' מדברים מה קורה אם בנוסף $S$ היא לא רק תת־חבורה של $G$, אלא גם תת־חבורה של $H$. כלומר ש-$S$ היא תת־חבורה של תת־חבורה של $G$.

בנוגע לדבר השני, שוב אדגיש כי $S$ היא "אובייקט" שמוגדר לפי $G$, וכמו שראית בקישור לויקיפדיה, כדי לוודא שזה המצב, הסימון המקובל של $S$ הוא $G'$, ממש כמו הסימון לנגזרת. כשכתבתי "אזי בהכרח $S$ אינה תת־חבורה של אותן תת־חבורות" הכוונה היא לא ש-$S$ אינה תת־חבורה של $G$ (כי כמו שאמרת, זו ההגדרה), אלא שהיא אינה תת־חבורה של $H$, אם $H \le G$ לא נורמלית.

תרגיל 5 שאלה 1ב'

ראיתי ש $[\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}]=n$. האם בכלליות $[m\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}]=\frac{m}{n}$?

זה תרגיל יפה. אולי ניתן אותו בתרגיל בית 6? עד אז אני יכול לומר שצריך כמובן לוודא שאנו עוסקים כאן בת"ח, ולכן לא כל m ו-n יקיימו זאת. חיים רוזנר (שיחה) 18:54, 1 בדצמבר 2013 (EST)

אפשר בבקשה הסבר מדוע

$Z_4{}\nsubseteq Z_8{}$?

הרי $Z_8=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \right \}$ ו- $Z_4=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$.

כנראה יש כאן משהו שאני לא מבין. אשמח להסבר ברור.

תודה!

לא מדובר באותם איברים, ולכן אין הכלה. הסימן $3$ משמש בחבורה $\mathbb{Z}_8$ כקיצור לאיבר שהוא קבוצת כל המספרים השלמים שמשאירים שארית $3$ בחלוקה ב-$8$ (שים לב שהאיבר בחבורה הוא קבוצה). האיבר "המקביל" בחבורה $\mathbb{Z}_4$ הוא כתיבה מקוצרת לאיבר שהוא קבוצת כל המספרים השלמים שמשאירים שארית $3$ בחלוקה ב-$4$.

האיבר $3 \in \mathbb{Z}_4$ פשוט לא נמצא בחבורה $\mathbb{Z}_8$. כמובן ש-$3$ הוא רק דוגמה ספיצפית, וזה נכון גם לגבי שאר האיברים.

תוספת שכדאי לקרוא אחרי שמבינים את הפסקאות הקודמות: החבורה $\mathbb{Z}_8$ מכילה תת־חבורה שאיזומורפית ל-$\mathbb{Z}_4$. האם אתה יכול למצוא אותה?

כמה שאלות כדי לוודא אם הבנתי נכון מה שכתבת:

1. איברי $\mathbb{Z}_{4}$ הם בעצם קבוצות?

2. כלומר ב- $\mathbb{Z}_{4}$ יש 4 קבוצות, שהן המחלקות $[i]$, כאשר $i=0,1,2,3$, וכל מחלקה מכילה בתוכה את האיברים ב-$\mathbb{Z}$ שמשאירים שארית $i$ בחלוקה ב-4?

3. ואז למשל עבור $i=3$, מתקיים שקבוצת האיברים ב-$\mathbb{Z}_{4}$ שמשאירה שארית 3 בחלוקה ב-4, שונה מקבוצת האיברים ב-$\mathbb{Z}_{8}$ שמשאירה שארית 3 בחלוקה ל8.

התשובות לשלוש שאלות אלו היא חיובית. חיים רוזנר (שיחה) 16:37, 7 בדצמבר 2013 (EST)

4. איך אני יודע שקבוצת האיברים ב-$\mathbb{Z}_{4}$ שמשאירה שארית 3 בחלוקה ב-4, לא שווה לאף אחת מ-6 המחלקות שמשאריות שארית $i$ בחלוקה ב-8, (כאשר $i$ בין 0 ל-7, ושונה מ-3) ?????

זה חישוב. ב-$\mathbb{Z}_{4}$ מתקיים $[3]=\{3+4k:k \in \mathbb{Z}\}$, ובכלל זאת 3 ו-7. בשארית בחלוקה בשמונה מקבלי קבוצה שונה, ואין מחלקה מודולו 8 המכילה את 3 ואת 7. חיים רוזנר (שיחה) 16:37, 7 בדצמבר 2013 (EST)

5. לפי מה שאתה אומרת, אז אני מבין שבכלל לא הבנתי עד עכשיו מי זו הקבוצה $\mathbb{Z}_{n}$. לפי מה שאתה אומר, זו לא קבוצת המספרים :$0,1,2,3,...,n-1$ , אלא זו קבוצה בת $n-1$ האיברים:

$[i], i=0,1,2,...,n-1$, שהם למעשה קבוצות, שכל אחת מהן היא קבוצת המספרים השלמים שמשאירים שארית $i$

בחלוקה ב-$n$?

הבנתי נכון?

אני בכיתה הגדרתי את הקבוצה $\mathbb{Z}_{n}$ בדיוק בצורה הראשונה שאתה הבאת כאן. לכן התשובה שלי שאלה ששאלת בהתחלה היא שהפעולה ב-$\mathbb{Z}_{4}$ שונה מהפעולה ב-$\mathbb{Z}_{8}$: זה חיבור מודולו 4 וזה חיבור מודולו 8. לכן זו איננה ת"ח. ניתן להגדיר גם בצורה שהובאה לעיל, ואני מתכוון לעשות זאת בשיעור שלי כשנגיע לחבורות מנה. ההגדרה המתמטית יותר היא זו שהובאה כאן, אלא שיש לשים לב שיש שם כמובן $n$ איברים ולא $n-1$. ניתן, אפוא, לנסח את ההגדרה במספר אופנים, אך בכל מקרה התשובה לשאלה המקורית שלך נשארת שלילית. חיים רוזנר (שיחה) 16:37, 7 בדצמבר 2013 (EST)

6. בנוגע לשאלה ששאלת. תוכל להגדיר לי מה הפירוש של "חבורה איזומורפית לחבורה אחרת". מה הניסוח המדוייק של ההגדרה?

חלק מקבוצות התרגיל טרם הגיעו למושג זה. הוא אמור להיות מוצג בכיתה. בינתיים אתה יכול לחפש חומר באינטרנט על איזומורפיזם של חבורות. חיים רוזנר (שיחה) 16:37, 7 בדצמבר 2013 (EST)

טענה שאני לא מצליח להוכיח. צריך בבקשה עזרה

הטענה אומר שבהינתן תת חבורה H של חבורה G מתקיים:

e הוא איבר היחידה של G אם"ם e הוא איבר היחידה של H.

תודה מראש על העזרה.

האם הכיוון $\left( \Leftarrow \right)$ ברור? היזכר בהגדרה של איבר יחידה. אם $e$ הוא איבר היחידה של $G$ הוא בפרט איבר היחידה של $H$ (האם ברור כי $e \in H$?).

הכיוון $\left( \Rightarrow \right)$ לא הרבה יותר מסובך. תת־החבורה $H$ מכילה את איבר היחידה של החבורה $G$, ומהיחידות של איבר היחידה ב-$H$ אם $e$ הוא איבר היחידה ב-$H$, אז הוא שווה לאיבר היחידה מ-$G$.

שתיי שאלות על הכיוון: ==>

$e$ איבר יחידה של $G$. לכן : $\forall g\in G:ge=eg=g$. וזה נכון גם עבור $g$-ים ששייכים ל-$H$ . לכן לכל $g\in H$ מתקיים: $ge=eg=g$.

מה שלא מובן כאן, זה למה איבר היחידה $e$ של $G$, שייך גם ל-$H$?

נסמן את איבר היחידה של H על ידי $e_H$. מתקיים, ביחס לפעולה של החבורה G, שהיא אותה הפעולה של H, $e_H e_H = e_H$. מכיוון שאיבר היחידה בחבורה G הוא יחיד (ראה התשובה הבאה), אז מתקיים $e=e_H$. חיים רוזנר (שיחה) 07:51, 8 בדצמבר 2013 (EST)

והדבר השני שלא מובן, זה למה הוא יחיד

איבר היחידה הוא יחיד בכל מונואיד: מתקיים $e_1=e_1e_2=e_2$, לכל שני איברי יחידה במונואיד. חיים רוזנר (שיחה) 07:51, 8 בדצמבר 2013 (EST)

שתיי שאלות על הכיוון: <==

כתבת "תת חבורה $H$ מכילה את איבר היחידה של החבורה $G$. למה הטענה הזו נכונה?

לפי הכיוון ההפוך. חיים רוזנר (שיחה) 07:51, 8 בדצמבר 2013 (EST)

כתבת גם "שאיבר היחידה ב- $H$ הוא יחיד. הסיבה שהוא יחיד, היא בגלל ש-$H$ בעצמה היא חבורה ולכן איבר היחידה שלה הוא יחיד?

לפי הכיוון ההפוך. חיים רוזנר (שיחה) 07:51, 8 בדצמבר 2013 (EST)

ניסיון הוכחה של הטענה הבאה:

יהי $a$ איבר בחבורה $G$.

טענה: $o(a)=o(a^{-1})$.

יתכנו שניי מקרים: 1. הסדר של $a$ סופי 2. הסדר של $a$ אינסופי.

מקרה 1:

כיוון א': נניח שקיים $k\in \mathbb{N}$ כך ש- $o(a)=k$. לכן $a^k=e$.

ואז $\left (a^{-1} \right )^k=(a^{k})^{-1}=e^{-1}=e$.

אבל לא ידוע האם $k$ הוא החזקה המינימלית של $a^{-1}$, שכאשר מעלים בה את $a^{-1}$, מקבלים $e$.

לכן $o(a^{-1})\leq o(a)=k$.

ההמשך כאן הוא בשל הטענה הסימטרית. מתקיים $(a^{-1})^{-1}=a$, ולכן $o(a)\leq o(a^{-1})$. כך משיגים שויון. חיים רוזנר (שיחה) 07:56, 8 בדצמבר 2013 (EST)

עכשיו אם רוצים להראות שהאי שיוויון ההפוך מתקיים, אפשר שוב להשתמש באותו $k$ ממקודם???

ואז להוכיח באופן הבא:

$o(a^{-1})=k$ לכן $(a^{-1})^{}k=e$.

ואז $\left (a^{k} \right )^{-1}=\left (a^{-1} \right )^{k}=e$.

האמת שנראה לי שכאן התבלבלתי קצת...אפשר בקשה לעשות לי סדר בהוכחה, ולהסביר לי למה אפשר לקחת שוב את אותו k???

איך אני מוכיח את הטענה במקרה שמדובר בסדר אינסופי?

סדר של איבר הוא אינסוף כאשר אין פתרון למשוואה $a^k=e$. אתה מראה שבמקרה זה אין פתרון גם למשוואה $(a^{-1})^k=e$, ולכן הסדר של $a^{-1}$ הוא אינסוף. חיים רוזנר (שיחה) 07:56, 8 בדצמבר 2013 (EST)

צריך עזרה בשאלה הבאה:

$G$ חבורה סופית. יהיו $a,b \in G$. צריך להראות שמתקיים: $o(ab)=o(ba)$ .

אינטואיטיבית...למה זה נכון? למה כשמחשבים סדר של מכפלה של שניי איברים ב-G, אז אין חשיבות לסדר ההכפלה? אילו היה מדובר בחבורה אבלית, זה היה נשמע לי יותר סביר...אבל אם זו חבורה לא אבלית, למה זה נכון?

ואיך פותרים את זה באופן פורמלי?

תודה.

באמת זה לא אינטואיטיבי. פורמלית יש כאן תעלול אריתמטי: אם $(ab)^n=1$ אז ניתן להכפיל ב-a מימין ולקבל $ababab \cdots ba = a$. נכנס כעת את האיברים מימין, ונקבל $a(ba)^n=a$ ולכן $(ba)^n=1$. זה אכן תעלול אריתמטי, ולי אין אינטואיציה לטענה הזו. חיים רוזנר (שיחה) 18:32, 17 בדצמבר 2013 (EST)

כשאתה כותב 1, הכוונה היא לאיבר היחידה?

ועוד שאלה:

המעבר $a(ba)^n=a ==> (ba)^n=1$ נובע מהכפלה של שניי האגפים ב-$a^{-1}$ משמאל?

כן.

שאלה

$G$ חבורה. $g \in G$. $o(g)=n$.

צריך להוכיח ש:

$a\equiv b(mod n)$ אם"ם $g^a=g^b$.

איך עושים את זה? ואם אפשר בקשה להזכיר, מה הפירוש במילים של השיוויון : $a\equiv b(mod n)$?

פירוש המילים $a\equiv b(mod n)$ הוא $n \mid a-b$. זאת אומרת שקיים k שלם כך ש-$a-b=nk$ או $a=b+nk$. זה אמור להספיק לדעתי. חיים רוזנר (שיחה) 18:39, 17 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה על חבורת אוילר

חבורת אוילר $U_{n}$ היא קבוצת כל האיברים ההפיכים במונואיד $Z_{n}$.

זו ההגדרה של חבורת אוילר? או שזה משפט שאומר שקבוצת האיברים ההפיכים במונואיד $Z_{n}$, היא חבורה שנקראת "חבורת אוילר"?

יש משפט הקובע כי קבוצת האיברים ההפיכים במונואיד היא חבורה. לפי משפט זה, קבוצת האיברים ההפיכים במונואיד $Z_{n}$ היא אכן חבורה, ואנו קוראים לחבורה זו חבורת אוילר, ומסמנים זאת על ידי $U_{n}$. חיים רוזנר (שיחה) 04:08, 18 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה שניה:

למה קבוצת האיברים ההפיכים במונואיד $Z_{n}$ , היא קבוצת המספרים במונואיד $Z_{n}$, שזרים ל-n?

הראנו זאת בכיתה באחד משני השיעורים הראשונים. בגדול, ניתן להראות כי אם מספר זר ל-n אז ניתן למצוא לו הפיך, ואם מספר איננו זר לו אז לא ניתן למצוא לו הפיך. חיים רוזנר (שיחה) 04:08, 18 בדצמבר 2013 (EST)

החבורה $\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{10}$

השאלה היא מפה: http://math-wiki.com/images/c/c7/Hw2solAA2013.pdf

איך מוכיחים שהחבורה $\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{10}$ היא ציקלית?

ובאותו הקשר, למה בכלל זו חבורה? על איזה פעולה מדובר כאן? אם מדובר על כפל, אז זה כפל מודולו? מודולו מה?

אם אפשר הסבר מפורט על מה בדיוק שואלים כאן ואיך פותרים את השאלה הזו, זה יעזור!

החבורה $\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{10}$ היא המכפלה הישרה החיצונית של החבורה $\mathbb{Z}_{10}$ עם עצמה. מכפלת חבורות ישרה הוצגה בפניכם בתרגיל בית 2, שאלה 3ב. כקבוצה, היא מכפלה ישרה של קבוצות, דהיינו קבוצת זוגות סדורים שהראשון שבהם מהחבורה הראשונה, והשני מהשניה. הפעולה במכפלת חבורות היא רכיב-רכיב, קרי מפעילים את הפעולה של החבורה הראשונה על הרכיב הראשון, ואת פעולת החבורה השניה על הרכיב השני. במקרה שלנו, הפעולה ברכיב הראשון היא חיבור מודולו 10, וזו עצמה גם הפעולה ברכיב השני. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): ׂ(a,b)+(c,d)=(a+_{10}c,b+_{10}d)

.

כעת, סדר החבורה הוא $10\cdot 10=100$. כדי שהיא תהיה ציקלית אנחנו צריכים למצוא איבר שיוצר את החבורה, דהיינו איבר שמקיים, לכל n קטן מ-100 $n\cdot (a,b)\neq(0,0)$. אבל לכל איבר בחבורה זו מתקיים $10\cdot(a,b)=(0,0)$, ולכן אין איבר יוצר שכזה. המסקנה היא שהחבורה איננה ציקלית. חיים רוזנר (שיחה) 04:26, 18 בדצמבר 2013 (EST)

למה להגיד "למצוא איבר שיוצר את החבורה", שקול ללהגיד "למצוא איבר שמקיים: לכל n קטן מ-100, $n\cdot (a,b)\neq(0,0)$ "

????????????????????????????????????????????????????????????????

סדרי איברים בחבורת אוילר

נתונה החבורה $U_{20}= \left \{ 1,3,7,9,11,13,17,19 \right \}$ שעוצמתה 8.

כיצד אני בודק האם קיים בה איבר מסדר 8? אפשר בבקשה להדגים את הבדיקה על איבר אחד או שניים מתוך הקבוצה הזו?

יש שתי דרכים להראות שאיבר g בחבורה G איננו מסדר n. הדרך הראשונה היא להראות ש-$g^n\neq 1$, והדרך השניה היא למצוא $m<n$ המקיים $g^m=1$. במקרה שלנו ברור שלכל איבר בחבורה מתקיים, לפי לגרנז', $g^8=1$, ולכן כנראה עלנו ללכת בדרך השניה. ניתן להראות כי כל איבר בחבורה מקיים, עבור $4<8$, $g^4=1$. לדוגמא, $3^4=81\equiv_{20}1$. לכן הסדר של האיבר $3$ איננו $8$. בחלק מהמקרים אפשר להראות זאת גם עבור $g^2$ או $g^6$, ובמקרה מסויים גם עבור $g^1$. חיים רוזנר (שיחה) 04:41, 18 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה שנייה:

אם לא קיים בחבורה איבר מסדר 8, מדוע נובע מכך שהחבורה אינה ציקלית?

ההגדרה של חבורה ציקלית היא חבורה שאיבר מאיבריה יוצר אותה לבדו. סדר של איבר הוא סדר החבורה הציקלית שהוא יוצר. אם g היה יוצר חבורה ציקלית מסדר 8 אז הסדר שלו כאיבר היה 8; לכן, מכך שהסדר שלו איננו 8 נובע שהוא איננו יוצר חבורה מסדר זה. חיים רוזנר (שיחה) 04:41, 18 בדצמבר 2013 (EST)

אני רוצה להוכיח ש Z10XZ15 לא ציקלית

ראיתי פתרון שכתוב בו שהיא לא ציקלית בגלל שאין בה איבר מסדר 150.

שאלה 1: מה הסיבה שאין בה איבר מסדר 150 ?

שאלה 2: למה העובדה שאין בה איבר מסדר 150, גוררת שהיא לא ציקלית?

שאלה 3:

למה הטענה הבאה נכונה:

לכל $(a,b)$ ב- $\mathbb{Z}_{10}X\mathbb{Z}_{15}$, מתקיים:

$30(a,b)=(0,0)$ .

שאלה 4:

למה מהטענה האחרונה נובע שאין בחבורה איבר מסדר 150?

מה ההוכחה לכך שסדר של איבר, הוא סדר החבורה הציקלית שאותה הוא יוצר?

לא מצאתי את זה בתרגול, וזה חשוב בשביל איזשהי שאלה.

תודה!

מה האינטואיציה מאחורי הטענה הבאה:

בהינתן שתיי מחלקות $aH,bH$, מתקיים רק אחד מבין השניים הבאים:

א'. $aH=bH$

ב'. $aH\cap bH=\varnothing$

למה שתיי מחלקות חייבות לקיים שהן או שוות, או זרות? למה לא יתכן שיהיה להן איבר משותף ושהן לא יהיו שוות?

שאלה

אני רוצה להוכיח את הטענה שאומרת שבהינתן תת-קבוצה $H$ סופית ולא ריקה בחבורה $G$ מתקיים:

$H$ תת חבורה של $G$ אם ורק אם $HH=H$.

האם שתיי ההוכחות הבאות מדוייקות?

הוכחה ראשונה: (של הכיוון מימין לשמאל)

נניח $H$ ת"ח של $G$.

צריך להוכיח: $HH=H$.

נוכיח זאת ע"י הכלה דו כיוונית:

1. נוכיח כי $H\subseteq HH$.

יהי $h \in H$ .

נשים לב כי: $h=he$

כיוון ש- $h\in H , e\in H$ אז מהגדרת כפל של קבוצות, נובע ש- $h=he\in HH$ זאת אומרת: $h\in HH$.

לכן $H\subseteq HH$.

2. נוכיח כי $HH\subseteq H$.

יהי $h\in HH$.

$h\in H , e\in H$ ומסגירות של $H$ נובע כי $he\in H$.

אבל $h=he$ ולכן $h\in H$.

לכן $HH\subseteq H$.

עד כאן ההוכחה הראשונה.

הוכחה שנייה (לאותו דבר בדיוק):

נניח כי $H$ תת חבורה.

מסגירות של $H$ נקבל:

$HH=\left \{ h1h2|h1,h2\in H \right \}\sqsubset H$.

מצד שני, $H=eH\sqsubset HH$.

ומשתיי ההכלות נובע השיוויון $H=HH$

שאלה: למה $eH\sqsubset HH$?

ועוד שאלה: האם שתיי ההוכחות נכונות? (שתיי ההוכחות הן של הכיוון מימין לשמאל)

איך מוכיחים את הטענה הזו...אמורה להיות פשוטה..

תהי $S$ ת"ח בחבורה $G$.

צריך להוכיח: $S^{-1}=S$

כאשר : $S^{-1}=\left \{ s^{-1}|s\in S \right \}$.

פתרון

$S$ ת"ח.

נוכיח כי $S^{-1}\sqsubseteq S$.

יהי $s\in S^{-1}$.

איך מתקדמים???

מנסה להוכיח משהו ללא הצלחה...

זו הטענה:

תהיינה $H,K$ תת חבורות בחבורה $G$. צריך להראות : $HK$ תת חבורה ב-$G$ אם ורק אם $HK=KH$.

כיוון א'-

נניח $HK$ תת חבורה ב-G. נוכיח : $HK=KH$.

ידוע ש: $(HK)^{-1}=HK$.

יהא $g\in HK$ לכן $g=hk$ כך ש- $h\in H , k\in K$.

לכן $g^{-1}=k^{-1}h^{-1}\in KH$ לכל $g\in HK$

איך מגיעים לכך ש- $g\in KH$?

(יצאנו מ-$g\in HK$ לכן צריך להראות ש- $g\in KH$).

האם יש דרך אחרת להוכיח את הכיוון הזה?

גם בהוכחה ש- $HK=KH$ גורר $HK$ תת חבורה, יש לי בעיה...

סגירות:

יהיו $g1,g2\in HK$.

לכן $g1=h1k1 , h1\in H , k1\in K$.

כמו כן,

$g2=h2k2 , h2\in H , k2\in K$.

מקבלים $g1g2=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2$

מתקיים ש $k1=k1e$ ו- $h2=eh2$ ומכאן ש $k1,h2\in KH$.

למה הטיעון הבא נכון:

$HK=KH$ לכן קיימים $k3\in K , h3\in H$ כך ש $k1h2=h3k3$?

נראה לי שעשו שם עוד מעבר בלי לציין. אפשר הסבר מפורט יותר???

ושאלה אחרונה, כמו קודם, האם גם את ההוכחה האחרונה אפשר להוכיח בדרך אחרת?

כמה שאלות חשובות על מעברים בהוכחה של משפט לגראנז' שלא מובנים לי

משפט לגראנז' אומר כך:

תהי $G$ חבורה סופית, ו-$H$ תת חבורה של G.

אזי הסדר של $H$ מחלק את הסדר של $G$.

הוכחה

תהי $G$ חבורה סופית. לכן העוצמה שלה היא איזשהו מספר טבעי $n$. כלומר $o(G)=n$.

$H$ תת חבורה של G ולכן עוצמתה קטנה או שווה לעוצמת G, לכן הסדר של H הוא $o(H)=m$. $H$ מחלקת את החבורה $G$ למחלקות זרות שכל אחת מהן מכילה $o(H)$ איברים, ומספר המחלקות הוא בהכרח סופי..

בשורה האחרונה כתובות 3 טענות. אין לי את ההוכחות שלהן.

אפשר בבקשה להראות בצורה ברורה, כיצד מוכיחים כל אחת משלוש הטענות האלו?

הטענה הראשונה אומרת:

$H$ מחלקת את החבורה $G$ למחלקות זרות

הטענה השנייה אומרת:

כל אחת מהן מכילה $o(H)$ איברים

הטענה השלישית אומרת:

מספר המחלקות הוא בהכרח סופי

השלב האחרון בהוכחה שגם כן לא מובן לי, אומר ש

אם מספר המחלקות הוא $j$, אזי $o(G)=o(H)*j$.

אפשר בקשה הסבר גם על המעבר הזה?

תודה רבה על העזרה

שאלה

אם $G$ חבורה ו-$H$ תת חבורה של $G$.

אז $gH$ עבור כל $g\in G$ זה יהיה אוסף המחלקות השמאליות של $H$ ב-$G$.

כמה מחלקות כאלה קיימות?

עבור ה-$g$-ים ששייכים ל- $G-H$, נקבל שמספר המחלקות הוא כמספר האיברים בקבוצה $G-H$, כלומר:

$|G-H|$

עבור ה-$g$-ים ששייכים ל-H, נכפול את כל אחד מהם, בכל איברי H. מספר המחלקות שמתקבלות באופן הזה, הוא כמספר האיברים של

$H$ (כי מחלקה תתקבל ע"י כפל של איברי $H$ ב-$H$. אבל מספר האיברים ב-H הוא $|H|$

לכן מספר המחלקות של תת חבורה $H$ של $G$ הוא: $|G-H|+|H|=|G|$ ?

מחלקות של תת חבורה

$G$ חבורה בעלת אינסוף איברים.

$H$ תת חבורה של G.

מספר המחלקות של $H$ הוא אינסופי?

(לא מתרגל)

לא.

קח/י את החבורה $\mathbb{Z}$, קח/י את תת החבורה $2\mathbb{Z}$, מספר המחלקות של $2\mathbb{Z}$ ב-$\mathbb{Z}$ הוא 2.

סדר

שתיי שאלות...

G חבורה מסדר n. האם אפשר להסיק שכל איבר ב-G הוא מסדר n?

(לא מתרגל)

לא.

החבורה הדיהדרלית למשל (לאף אחד מאיבריה אין סדר ששווה לסדר החבורה), ולמעשה כל חבורה ציקלית (אין לה יוצרים, ובפרט אין לה איברים שהסדר שלהם הוא כסדר החבורה).

משפט אוילר. ..אפשר בקשה הסבר לשלב האחרון בהוכחה?

משפט אוילר:

יהיו $n,m$ מספרים טבעיים זרים, אז $m^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$,

כאשר $\phi (n)$ היא פונקציית אוילר, המחזירה את מספר המספרים הטבעיים שזרים ל-n וקטנים ממש מ-n.

הוכחה

קבוצת המספרים הטבעיים שקטנים מ-$n$ וזרים ל-$n$ הם חבורה $G$ ביחס לכפל מודולו

$n$.

סדר חבורה זו הוא $\phi (n)$.

$G$ חבורה סופית מסדר $\phi (n)$ ולכן בחבורה זו מתקיים:

$g^{\phi (n)}=e$ לכל $g\in G$.

בחבורה זו איבר היחידה הוא 1.

כל השלב הבא, לא מובן לי לחלוטין:

לכן לכל $m$ שזר ל-$n$ קיים $0<m1<n$ כך ש

$m^{\phi (m)}\equiv m1^{\phi (m)}\equiv 1(modn)$.

מישהו יכול להסביר את השלב הזה. כל השלב הזה לא מובן לי מתחילתו ועד סופו.

טעות בהגדרת מושגים בתרגיל 7?

בשורה האחרונה של תזכורות ומושגים נכתב: "משפט האיזומורפיזם הראשון: יהי $f: G\rightarrow H$ אפימורפיזם. אזי ההעתקה המושרית $\hat{f}:G/kerf\rightarrow H$ היא איזומורפיזם.

לשון אחר: יהי $f: G\rightarrow H$ מונומרפיזם. אזי ההעתקה המושרית $\hat{f}:G/kerf\rightarrow Imf$ היא איזומורפיזם."

בנוגע לשורה השניה: בהרצאה הניסוח היה אחר: אם $f: G\rightarrow H$ הומומורפיזם. אזי ההעתקה $\hat{f}:G/kerf\rightarrow Imf$ היא איזומורפיזם. כלומר מספיק ש-$f$ היא הומו', היא לא צריכה להיות גם מונו'.