88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1.5

חזרה למערכי התרגול

רעיון בסיסי - אינדוקציה על הטבעיים

בשביל להוכיח שטענה מסוימת $P(n)$ נכונה עבור כל מספר טבעי (למשל $(1+2+\cdots +n)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3$) מספיק להוכיח את הבאים:

• הטענה מתקיימת עבור $n=1$ כלומר $P(1)$ מתקיים
• אם הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו. כלומר $P(n)\Rightarrow P(n+1)$.

למה זה מספיק? בוא נחשוב.. הוכחנו באופן ישיר כי הטענה נכונה עבור $n=1$ כלומר $P(1)$ מתקיים. לכן לפי הטענה השניה, אם הטענה נכונה עבור $n=1$ (שזה אכן כך) אז הטענה נכונה גם עבור $n=2$כלומר $P(2)$. אה! אז עכשיו זה נכון עבור $n=2$ אז לפי אותה טענה זה נכון גם עבור $n=3$! ומה עכשיו? אם זה נכון עבור $n=3$ זה נכון עבור $n=4$ . וכן על זה הדרך. אפשר להשתכנע שבסופו של דבר $P(n)$ נכון לכל $n$

הכללות

הכללה פשוטה

הכללה ישירה מתבצעת כך (החלפה רק של הטענה הראשונה): אם נוכיח עבור טענה $P(n)$ ש:

• הטענה מתקיימת עבור $n=k$ מסוים כלומר $P(k)$ מתקיים
• אם הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו. כלומר $P(n)\Rightarrow P(n+1)$.

אז באופן דומה הטענה נכונה $P(n)$ נכונה עבור $n\geq k$