שיחה:88-222 תשעד סמסטר ב מגרל

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

הוכחת טענה מהתרגול

בתרגול השלישי נאמר ש- U פתוחה ב-$\phi \neq A \subseteq X$ אם ורק אם קיימת V פתוחה ב-X כך ש- $U=A\cap V$. אפשר בבקשה עזרה בהוכחה מימין לשמאל (אם U פתוחה אז קיימת V...) ?

(לא מרצה / מתרגל) תהי קבוצה פתוחה $U$. לפי ההגדרה, לכל $a\in U$ קיים $r_a >0$ שעבורו $B_{r_a}(a)\subseteq U$. ניקח את איחוד כל הכדורים האלו, זאת אומרת את $V:=\bigcup_{a\in U}B_{r_a}(a)$. לפי תכונות שהוכחו, זו קבוצה פתוחה ב-$X$, ואכן מתקיים $U=A\cap V$; ההכלה משמאל לימין ברורה, וההכלה מימין לשמאל נובעת מכך שאם $x\in A\cap V$, בהכרח $x\in B_{r_a}(a)$ כלשהו וגם $x\in A$, ולכן, לפי הבחירה של $r_a$, $x\in U$ --גיא בלשר (שיחה) 04:24, 4 באפריל 2014 (EDT)

עקרונית ההוכחה נכונה אבל יש כאן נקודה עדינה שצריך לשים לב אליה. $U$ פתוחה ב- $A$ ולכן כאשר אתה אומר לכל $a\in U$ קיים $r_a >0$ שעבורו $B_{r_a}(a)\subseteq U$. הכונה היא לכדור ב- $A$ כלומר $B_A(a,r_a)\subseteq U$. בעוד ש $V:=\bigcup_{a\in U}B_X(a,r_a)$כלומר איחוד כדורים פתוחים ב$X$.--מני (שיחה) 04:37, 4 באפריל 2014 (EDT)

תרגיל 4 שאלה 1

אני מצרף ניסיון הוכחה נוסף לטענה $A'\subseteq A\Rightarrow A\quad is\quad closed$, אשמח אם לדעת האם הוא נכון.

תהי $\{ { a }_{ n }\} \subseteq A;{ a }_{ n }\rightarrow a\in X$. אם היא קבועה לבסוף אז ודאי שהגבול בA. אחרת, יש תת סדרה ${ \{ { a }_{ { n }_{ k } }\} }_{ k=1 }^{ \infty }\subseteq A\diagdown \left\{ a \right\}$. כל תת סדרה של מתכנסת תתכנס גם היא ולאותו גבול, לכן לפי הגדרה $a\in A'\subseteq A$, לכן $a\in A$.

ההוכחה נכונה ואלגנטית:)--מני (שיחה) 13:15, 5 באפריל 2014 (EDT)

שאלה 3 תרגיל 6

בפתרון של שאלה 3 בתרגיל 6 - מדוע V פתוחה ?

• כמעט תמיד אפשר להחליף סביבה בסביבה פתוחה שכן כל סביבה של נקודה מכילה קבוצה פתוחה המכילה את הנקודה ואותה קבוצה פתוחה היא סביבה פתוחה של הנקודה.

• ספציפית בשאלה הזו במשפט שמופיע בפתרון: "קיימת סביבה $O$" היה צריך להיות רשום: "קיימת סביבה פתוחה $O$" ואז בעצם $V$ פתוחה כחיתוך של שתי פתוחות. אני מציע לבדוק למה באמת אפשר לקחת את $O$ להיות פתוחה. --מני (שיחה) 04:41, 3 בספטמבר 2014 (EDT)