קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי

משפט

$A$ לכסינה $\iff$ הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה $m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)$ עבור $\lambda_1,...,\lambda_k$ הע"ע השונים של $A$

הוכחה

$\Leftarrow$

$A$ לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של $A$ נקרא לו $B=\{v_1,...v_n\}$. ברור שהפולינום המינימלי של $A$ חייב להכיל את הגורמים האי פריקים $t-\lambda_i$ לכל הע"ע של $A$. לכן אם הפולינום $p(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)$ מקיים $p(A)=0$ אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...)

אנו יודעים שעבור כל $v_i$ קיים $\lambda_j$ כך ש$Av_i=\lambda_j v_i$. מה הערך של $(A-\lambda_r)v_i$ עבור $r\neq j$?

$(A-\lambda_r)v_i = \lambda_j v_i - \lambda_r v_i = (\lambda_j - \lambda_r)v_i$

הבה נסתכל ב $p(A)v_i$:

$p(A)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)\cdots(A-\lambda_kI)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)v_i=$

$=(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)v_i$

אבל $(A-\lambda_jI)v_i=0$

ולכן $p(A)v_i=0$ לכל $v_i \in B$

$B$ בסיס ולכן כל וקטור $v$ ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי $B$:

$v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i$

ולכן $p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0$

אם $p(A)\neq 0$ אז קיימת לה עמודה $j$ שונה מאפס, אזי $p(A)e_j\neq 0$. אבל ראינו ש $\forall v \in V :p(A)v=0$ ולכן $p(A)=0$ ולכן $p=m_A$.

$\Rightarrow$

קודם כל הפולינום המינימלי של $A$ מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום המאפיין של $A$.

$n_i$ כלומר החזקה של הגורם $t-\lambda_i$ בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של $A$. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של $A$ הוא מגודל אחד. כלומר $A$ לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל $1x1$.