לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

$\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - בוחן + תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 3

ארכיון 5 - תרגיל 4

שאלות

בסיס

הוצאתי חוברת לינארית מהספרייה, ובספר כתוב שכדי לוודא שוקטורים מסויימים a1,a2,...ak בת"ל, צריך לשים את הוקטורים כעמודות של מטריצה הומוגנית, ואז לצטט את שני המשפטים הבאים: במטריצה המורכבת מהעמודות a1,a2,...,ak,b (כך שכל עמודה היא וקטור), הוקטור b הוא צירוף לינארי של a1,...,ak כך שהמקדם של ai לכל i הוא xi אם"ם (x1,...xk) הוא פתרון של המערכת שלמעלה. בנוסף ידוע כי מטריצת מקדמים מצומצמת (כלומר מקדמים של מערכת משוואות לינאריות הומוגניות) היא שקולה למטריצת היחידה אם"ם אין למערכת פתרון לא טריוויאלי. כלומר נוכיח שהמטריצה שהרכבנו מהעמודות a1,...,ak,b שקולה למטריצת היחידה עפ"י פעולות שורה אלמנטריות, ולפי זה פתרון המערכת x1,...,xk הוא טריוויאלי כלומר 0=(x1,...,xk) ולכן ל- 0=x1a1+x2a2+...+xkak יש רק פתרון טריוויאלי לכן לפי הגדרה הווקטורים a1,...,ak בת"ל.

השאלה שלי היא האם מספיק לנמק: ידוע שאם מטריצה שקולה למטריצת היחידה אז כל עמודותיה בת"ל? נימוק כזה קצר יכול לחסוך המון זמן וכאב ראש...

תשובה

למדנו את התיאור הראשון בתרגיל - וגם השתמשנו בזה בפתרון תרגיל 3 (בקובץ המצורף). כמו כן למדנו שניתן לדרג את המטריצה ולראות האם שורות התאפסו לנו. אלה שתי שיטות שונות ושתיהן נכונות.

חשוב לשים לב ששקילות למטריצה היחידה היא רלוונטית רק כאשר מדובר על מטריצה ריבועית. וקטורים יכולים להיות בת"ל גם אם תשים אותם בעמודות מטריצה והיא תהיה לא ריבועית.

חשוב לזכור שכאשר אנו שמים וקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב הפתרונות. כאשר אנו שמים את הוקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב השורות.

11.10

המטריצות A B הן שתיהן מגודל MXN?ובהוכחה אני אמורה להניח שהשורות הן בת"ל ושהדרגה שווה למס' השורות? אם שתי המטריצות הן מגודל MXN אז מה הדרגה?

תשובה

לעולם לא מניחים דברים שלא כתובים בנתון. הגדלים של המטריצות נתונים - וזה נכון.

השורות לא חייבות להיות בת"ל בכלל.

תרגיל 2.8

מה הכוונה ב(א) שכתוב $T1 + T2 = Iv$ ? כלומר מה הכוונה בחיבור העתקות ליניאריות? תודה רבה... XD

תשובה

כמו שלמדנו בהרצאה ובתרגיל על המרחב הוקטורי של העתקות לינאריות - $Hom(V,W)$:

יהיו 2 העתקות לינאריות T,S. נגדיר את ההעתקה הלינארית שהיא החיבור שלהן D=T+S, על ידי $\forall v\in V :D(v)=S(v)+T(v)$

תשובה לתשובה

תודה רבה XD :P :) :D

מרחב עמודות

איך מחשבים את הדרגה של A, כלומר את מספר האיברים בבסיס של מרחב העמודות של A? איך מוצאים את הבסיס? מהי הדרגה של מטריצת האפס? למה? תודה.

תשובה

• הדרגה של המטריצה היא מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת שלה.

• אפשר למצוא בסיס למרחב העמודות על ידי:
  • שחלוף המטריצה A
  • דירוג המטריצה המשוחלפת
  • שורות הצורה המדורגת של המטריצה המשוחלפת השונות מאפס, מהוות בסיס למרחב העמודות (כאשר מסתכלים עליהן כעמודות כמובן)
• מטריצה האפס היא בצורה מדורגת, אין שורות שונות מאפס ולכן הדרגה היא אפס.

תודה, אבל נראה לי (לפי הגיון) שהדרגה של מטריצה היא מספר השורות שגם לא תלויות אחת בשניה (בת"ל), לא? נגיד המטריצה

1 2 2 4 הדרגה שלה היא 1 או 2? תודה.

תרגיל 11.2ב

מהי המטריצה A|b?

המטריצה A שהוסיפו לה מימין את העמודה b.

סכום ישר

לא הבנתי עד הסוף את הנושא של הסכום הישר! אתה יכול לתת דוגמא?

גם היתה דוג' בהרצאה שלא ממש הבנתי,

V=R^3 u=sp{(1,1,1)}, w={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0, x1,x2,x3 in R טענה- v=u+w

צ"ל :

1. U+W מוכל בV.

2.V תת מרחב של U+W

3.U חיתוך W שווה 0.

למה צריך להוכיח את 2??

תשובה

הביטוי $V=U\oplus W$ אומר את שני הדברים הבאים לפי הגדרה:

א. V=U+W

ב. $U\cap W = \{0\}$

על מנת להוכיח את א, צריך להוכיח את 1+2 שלך (זו סה"כ הכלה דו כיוונית שמוכיחה שיוויון).

ב' הוא בדיוק 3 שלך.