קוד:אי שיוויונים של גבולות (פונקציות)

\begin{theorem} $\lim_{x\to a} f(x)=L \Rightarrow \forall y<L, z>L \exists \delta \forall x : 0<|x-a|<\delta \Rightarrow y<f(x)<z $ \end{theorem}

\begin{proof} אם ניקח $\varepsilon=\min\{|L-y|,|z-L|} $ אז קיים $\delta>0 $ כך ש- $\forall x : 0<|x-a|<\delta \Rightarrow y\leq L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon\leq z \end{proof} $\\$ \underline{מסקנה:} אם $f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}L_1 , g(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}L_2 $ ו- $f(x)\leq g(x) $ אז $L_1 \leq L_2 $

\begin{proof} נניח בשלילה ש- $L_1>L_2 $ ולכן $\lim_{x\to a} f(x)-g(x) = L_1 - L_2 > 0 $ (לפי אריתמטיקה של גבולות) ומזה ומהמשפט שהוכחנו יש סביבה של $a$ בה $f(x)-g(x)>0 $, בסתירה לנתון. \end{proof}