קוד:מבחן דיריכלה להתכנסות טורים

\underline{משפט:} יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש-

א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה.

ב. $a_n \searrow 0 $ (יורדת מונוטונית ל-0)

אזי הטור מתכנס

$\\$ הערה: המשפט הזה מכליל את מבחן לייבניץ, שם האיברים הם מהצורה $(-1)^n c_n $ כש- $c_n$ יורדת מונו' ל-0 וקל לראות שהסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n $ חסומה. $\\$ \underline{הוכחה:} באמצעות קריטריון קושי

נסמן את הסס"ח של $\sum b_n $ בתור $B_n$ (מתקיים ש- $B_n-B_{n-1}=b_n$ ). נסמן את הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ב- $S_n$ ואז מתקיים ש- $S_n = a_{n+1} B_n + \sum_{k=0}^n B_k (a_k-a_{k+1}) $ (סכום טלסקופי). כיוון ש- $B_n$ חסומה ו- $a_{n+1}$ שואפת ל-0 , כל הביטוי השמאלי שואף ל-0. מצד שני, $a_n$ מונוטונית יורדת ולכן $a_k - a_{k+1} \geq 0 $ ומותר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון:

$\sum_{k=0}^n |B_k (a_k-a_{k+1})| \leq M \sum_{k=0}^n a_k-a_{k+1} $ וזהו טור טלסקופי ששואף ל- $M a_0 $ ולכן מתכנס. ממבחן ההשוואה נקבל שהחלק הימני של המשוואה של $S_n$ מתכנס גם הוא ולכן הטור מתכנס.