קוד:נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו

\begin{thm} אם $f\in D(a,b) $ אז לנגזרת אין נק' רציפות מסוג ראשון.\\ במילים אחרות, עבור $x_0\in (a,b) $ אם קיימים $\lim_{x\to x_0^+} f'(x) , \lim_{x\to x_0^-} f'(x) $ אזי הם שווים לנגזרת בנקודה (ובפרט שווים ביניהם) \end{thm}

\begin{proof} $f$ גזירה ב- $x_0$ ולכן הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות לנגזרת בנקודה.

לפי משפט לגרנז' $\exists_c : f'(c)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ . אם נניח ש- $x<x_0 $ נקבל ש-

$$f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{c\to x_0^-} f'(c) $$

ובאופן דומה

$$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{c\to x_0^+} f'(c) $$

אבל הנגזרות החד צדדיות שוות ומכאן ש-

$$\lim_{x\to x_0^-} f'(x)=f'_- (x_0) = f'(x_0) = f'_+ (x_0) = \lim_{x\to x_0^+} f'(x) $$ \end{proof}

דוגמה:

$f(x)=\begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x}& \text{if}\ x\neq 0\\ 0& \text{else}\end{cases}$ פונקציה גזירה עם נגזרת לא רציפה. ברור שהנגזרת קיימת ורציפה בכל מקום שהוא לא $x=0 $ (כפל והרכבה של פונקציות גזירות ברציפות). אם $x=0 $ אז קודם נבדוק רציפות ואז גזירות. רציפות:

$$\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0=f(0) $$

משום שזה מקרה של פונקציה חסומה כפול פונקציה ששואפת ל-$0$. כעת נבדוק גזירות:

$$f'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0 $$

מאותה סיבה בדיוק. אבל עבור $x\neq 0 $ מתקיים ש- $f'(x)=2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} $ והגבול $\lim_{x\to 0} f'(x) $ לא קיים ומכאן שהנגזרת לא רציפה.