קוד:נק' קיצון ומשפט פרמה

\begin{definition} תהי $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ , נקודה $x_0\in A$ נקראת מינימום מקומי אם קיימת סביבה בה מקבלת את הערך הכי נמוך בפונקציה, או באופן פורמלי $\exists \delta>0 \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $ ובאופן אנלוגי נק' מקסימום מקומי היא נק' שבסביבה מסוימת שלה מקבלת את הערך הכי גבוה. נק' מינימום ממש (חזק) מקומי אם $\exists \delta>0 \forall x : 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x_0)< f(x) $ ובאופן אנלוגי מגדירים מקסימום ממש מקומי \end{definition}

דוגמה:

$f(x)=\begin{cases} x^2\ \text{if}\ |x|<1\\ 1\ \text{else}\end{cases} $ אז $x=0 $ נק' מינימום ממש , $x=1 $ נק' מקסימום ו- $x=2 $ נק' מינימום ומקסימום

\begin{theorem} תהי הפונקציה $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ ונניח $f$ גזירה בנק' קיצון מקומי $x_0 $ , אזי $f'(x_0)=0 $ \end{theorem}

\begin{proof} נוכיח עבור נק' מקסימום מקומי, ועבור מינימום מקומי ההוכחה אנלוגית.

$f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ומשום ש- $x_0 $ מקסימום מקומי מתקיים ש- $f(x)\leq f(x_0) $ (בסביבה קרובה של $x_0 $ ) ולכן המונה אי חיובי וגם המכנה שלילי ומכאן שכל הביטוי אי שלילי ולכן הנגזרת משמאל אי שלילית. מצד שני,

$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ומשום ש- $x_0 $ מקסימום מקומי מתקיים ש- $f(x)\leq f(x_0) $ (בסביבה קרובה של $x_0 $ ) ולכן המונה אי חיובי אבל המכנה חיובי ומכאן שכל הביטוי אי חיובי ולכן הנגזרת מימין אי חיובית. כיוון ש- $f$ גזירה ב- $x_0 $ אז קיימת נגזרת והיא שווה לשתי הנגזרות החד צדדיות, מכאן שהיא גם אי חיובית וגם אי שלילית ולכן אפס. \end{proof}