בונוס ללינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע
שאלת הבונוס
תהי הפיכה, ונתון ש
לכסינה. הוכח ש
לכסינה.
יש פותרים לשאלת הבונוס. השאלה נפתרה בשלוש דרכים עיקריות:
1. הפותרים: רום דודקביץ ועידו קוטלר
מתפרק לגורמים לינאריים כי אנחנו מעל המרוכבים. לכן
(החזקות הן אחד לפי התיקון/השלמה שנייה להרצאה כי
לכסינה). המטריצה
הפיכה ולכן גם
הפיכה, ולכן אין לה ע"ע אפס (לפי משפט). לכן לכל
קיימים שני שורשים שונים
כך ש
.
כלומר לכן
.
נסמן וקבלנו ש
ולכן הפולינום המינימלי של
מחלק את
. אבל
מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן גם הפולינום המינימלי של
מכיל גורמים לינאריים בלבד (שימו לב, אם אפס היה ע"ע אז היה גורם
לא לינארי). ולכן ולפי משפט (ראה תיקון/השלמה שנייה)
לכסינה.
2. הפותרים: דניאל ורדי-זר, אסף רוזן וניל וקסלר
אנחנו מעל המרוכבים אז לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן. תהיי צורת הז'ורדן של
. אזי
, נעלה בריבוע ונקבל
כלומר
ו
דומות.
נניח בשלילה ש לא לכסינה ונוכיח שנובע ש
לא לכסינה וזו סתירה לכך ש
לכסינה.
היא סכום ישר של בלוקים, ולכן
היא סכום ישר של הבלוקים של
בריבוע. הנחנו ש
לא לכסינה, לכן בצורת הז'ורדן שלה
יש בלוק בגודל גדול או שווה ל2 (אחרת כל הבלוקים בגודל אחד וזו מטריצה אלכסונית).
נניח בלוק ז'ורדן ב
כך ש
. מכיוון ש
הפיכה אין לה ע"ע אפס! ולכן
. לכן בהכרח (תרגיל)
מכיל איברים שאינם אפסים מעל האלכסון, והאלכסון שלו מכיל את
. ולכן
. לכן יש ל
פחות מ
וקטורים עצמיים בת"ל.
לפי משפט, כמות הוקטורים העצמיים הבת"ל של מטריצה שהיא סכום ישר של מטריצות, היא סכום כמויות הוקטורים העצמיים הבת"ל בכל אחת מן המטריצות. זה נכון כי . אבל הראנו שיש בסכום הישר של המטריצה
את הבלוק
שתורם פחות מ
וקטורים עצמיים בת"ל. ולכן לכל המטריצה
יש פחות מ
וקטורים עצמיים בת"ל, ולכן היא לא לכסינה. סתירה.
3. הפותר: עדן קופרווסר
אנחנו מעל המרוכבים, ולכן דומה למטריצה משולשית
שבאלכסון שלה נמצאים הע"ע של
. לכן
כלומר הע"ע של
הם בדיוק הריבועים של הע"ע של
.
נוכיח שהמרחב העצמי של עבור הע"ע
(נסמן אותו ב
), שווה לסכום המרחבים העצמיים של
עבור הע"ע
(נסמן אותם ב
. כלומר נוכיח ש
.
דבר ראשון נראה שהסכום הוא אכן ישר. נניח אזי
וגם
אזי
לכן ההפרש בינהם יוצא
. כעת, נתון ש
לא הפיכה ולכן 0 לא ע"ע שלה. ולכן
כלומר הסכום הוא ישר.
דבר שני, נראה הכלה בכיוון ראשון. נניח אזי
כך ש
ונכפול שוב במטריצה לקבל
ולכן
. ולכן
.
בכיוון ההפוך, נניח לכן
לכן
וגם
. אם
אזי
וסיימנו. אם
אזי
וסיימנו.
אם שתי האופציות לא נכונות, כלומר וגם
אזי נסמן
ונסמן
.
מהמשוואות למעלה רואים ש וגם
. לכן הם שייכים למרחבים העצמיים המתאימים של
ולכן
. אבל
ולכן
ולכן
ולכן
.
מכיוון שהראנו הכלה דו-כיוונית אזי כפי שרצינו להוכיח.
כעת, לסכינה, ולכן סכום הריבויים הגיאומטרים של הע"ע שלה שווה
. אבל הריבוי הגיאומטרי זה מימד המרחב העצמי, ולכן
אבל זה שווה
אבל זה בדיוק סכום הריבויים הגיאומטריים של
, ויצא לנו שהוא גם כן שווה
. ולכן
לכסינה.