בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

${n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - לקראת המבחן

שאלות

שאלה לסיום

למדנו את הכלל-a כפול b= למקסימום של הערכים. האם אפשר להסיק: תהי k עוצמה. מכפלת k בעצמה שווה לk?

תשובה

ראשית להבהיר, למדנו את המשפט הזה לגבי עוצמות אינסופיות, עבור סופיות כמובן שזה לא עובד. ושנית המכפלה תהיה שווה ל-k רק אם העוצמה קטנה או שווה ל-k

שיבוצי הכיתות

בניין 605

הקבוצה של אפי:
חדר 101: מסטודנט אבני תומר עד מלמד שירן
חדר 102: מסטודנט מרזוק חופית עד שרקנסקי אלה

הקבוצה של שי:
חדר 103: מסטודנט אבוטבול עומר עד כרמל רום
חדר 104: מסטודנט לביא גל עד שרעבי רועי

חוקי עוצמות

אחד החוקים שכתוב לי במחברת הוא שעבור עוצמות a,b,d מתקיים: אם $a<b$ אז $a^d<b^d$. השאלה היא מהן העוצמות a,b,d, האם זה גם עבור עוצמות סופיות?

השאלה היא בהמשך לדוגמה נגדית שמישהו נתן: $2<3$ אבל 2 בחזקת א0 שווה 3 בחזקת א0.

תשובה

כנראה זה קטן שווה, גם אם d=0 יש שוויון

כן, כנראה. תודה. בכל מקרה, תשובה חד משמעית ממתרגל תעזור. אולי אפשר ממש להגיד מתי קורה השוויון, ואז להגביל a,b,d כך שהוא לא יקרה אף פעם?

אני לא מתרגל, אבל לפי דעתי אם זה גדול ממש זה לא תורם יותר מדי, לעומת זאת אם זה גדול שווה זה מראה על קיום פונ' חחע מצד אחד ופונ' על מצד שני.

תשובת מתרגל

אני כן מתרגל, והאמת היא שאם קבוצות מקיימות $|A| \leq |B|$ אם ורק אם קיימת פונקצייה על מB ל A שזה קורה אם ורק אם יש פונקצייה חח"ע מA לB. המשמעות של $|A| < |B|$ היא שקיימת פונקצייה על מB לA אך לא קיימת פונקצייה על מA לB, שזה קורה אם ורק אם קיימת פונקצייה חח"ע מA לB אך לא קיימת פונקצייה חח"ע מB לA. בהצלחה במבחן היום! Adam Chapman 12:28, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

מתי המבחן?

בשלוש וחצי או ארבע? האם התשובה היא ב100 אחוז? תודה!

בארבע, זה הרי מה שנכתב כאן ובמערכת המידע האישי...

ואיפה?

שוב, מערכת מידע אישי ולפי מספר קורס 88195 (ולאחר מכן 08 עבור אפי 11 עבור שי) תוכל לראות באיזה חדר אתה משובץ

שאלה 1, סעיף 4 בדף רקורסיה

שלום רב,

אם מבקשים ממני את מספר תתי הקבוצות של $\{1,...,n\}$ שבהן יש מספרים עוקבים (ביחס רקורסיה), האם מותר לי לפתור כך:

" עפ"י הסעיף הקודם (סעיף 3) קיבלנו שמספר האפשרויות לתתי הקבוצות של הקבוצה הנתונה בהן אין מספרים עוקבים בכלל הוא $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$. מכיוון שלכל תת קבוצה יש שתי אפשרויות (שתכיל עוקבים או שלא תכיל עוקביים) ויש בסה"כ $2^n$ תתי קבוצות אז נגדיר $g(n)$ להיות מספר הקבוצות בהן יש מספרים עוקבים ולכן $g(n)=2^n-f(n)=2^n-f(n-1)-f(n-2)$?"

אם לא, איך אני יכול לפתור? תודה, גל.

תרגיל 2

איפה התשובות של שאלות 8,9? (http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf)

אפשר עזרה בשאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'?

אני כבר ממש מיואש, כל פונקציה שאני בונה יוצאת לא חחע ולא על! זאת שאלה ממש קשה, אבל גם ממש חשובה למבחן, אז אפשר, בבקשה, פתרון או הכוונה? תודה!

תשובה

בשאלה הזו לא מצפים ממך לבנות פונקציה כי אם להשתמש בחוקים אלמנטריים שאתה יודע בחשבון עוצמות. ההוכחה שמצופה מכם היא כזו:

מצד אחד $2^\lambda>\lambda$ ולכן $(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda$. מאידך, $2 \leq k \leq 2^\lambda$ ולכן $2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda$ ולכן $k^\lambda=2^\lambda$.Adam Chapman 19:33, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אני פשוט לא מאמין, סתם ישבתי לי ובניתי פונקציות..

בכל מקרה, לא הבנתי אף אחד מהשלבים שעשית! קראתי שוב לאט, ובטוח גם אם הפתרון שלך נכון אז חסר בו פירוט הכרחי באיזשהו מקום- איך אתה יודע שK בחזקת גימל שווה ל2 בחזקת גימל?

כי $2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda$

לימדו אתכם בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל $\lambda<k$ מתקיים $k^\lambda=k$. גם לימדו אתכם בהרצאה שאם עוצמה k קטנה מקיימת $\gamma \leq k \leq \gamma$ אז $k=\gamma$. אלו הם שני החוקים שהשתמשתי בהם בהוכחה הנ"ל. Adam Chapman 19:48, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

לא!!! התכוונתי לאיך אתה יודע את כל אחד מ2 השלבים האלה! ברור לי שאם אתה יודע שאחד גדול מהשני והשני גדול מהראשון אז על פי קנטור ברנשטיין יש שוויון!!את התוצאה $2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda$ פשוט המצאת. כמו כן פשוט כתבת שאם$2^\lambda>\lambda$ אז $(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda$ וש $2^\lambda>\lambda$ אז $(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda$בלי להסביר! מאיפה הבנת את הדברים האלה?? אתה יכול להסביר בבקשה למה K בחזקת גימל גדול מ2 בחזקת גימל ולמה להפך?? תודה

לימדו בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל $\lambda<k$ מתקיים $k^\lambda=k$. במשפט הזה תחליף את k ב-$2^\lambda$ (אינסופי כי $\lambda$ אינסופית נתון). ידוע ש- $\lambda<2^\lambda$ לפי קנטור. לכן לפי המשפט הזה, $(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda$.

חוץ מזה, ידוע שכאשר a,b,c עוצמות: אם a<b, אז $a^c<b^c$ ולכן אם נתון $2 \leq k \leq 2^\lambda$ אז $2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda$ (העלינו הכל בחזקת $\lambda$ והשיוויון ממה שהוכחנו קודם). זהו עכשיו לפי קנטור ברנשטיין מ.ש.ל. אגב אני לא מתרגלת אבל מקווה שעזרתי.

תודה על העזרה, אדם, אני ממש לא רוצה להעליב, אבל אי אפשר להבין כשישר כותבים תוצאה. אבל נראה לי שיש פה טעות, כי למשל למשפט אם a<b, אז $a^c<b^c$ אני יכול לתת דוגמה נגדית. ודבר שני, אני ממש לא זוכר שלמדנו בהרצאה את מה שאת ואדם אמרתם שלמדנו. תודה

איזו דוגמה נגדית? (שים לב ש-c זו עוצמה, לא משלים. הסימונים שהשתמשתי בהם הם לא משהו..) אם אתה עם אפי, אז החוק הזה כתוב לך בעמוד האחרון שלפני קומבינטוריקה (מצחיק, הרגע שמתי לב שכל התרגיל הזה הוא חוק מספר 8 שכתוב שם במדוייק).

את מה שאדם כתב אין לי במחברת. בכלל, בקושי יש חוקים שלמדנו על עוצמות כלשהן (כשלא ידוע מהי העוצמה). אם הייתה רשימה של כל החוקים האלו זה היה כ-ל-כ-ך עוזר!

למשל, 2 בחזקת א0 שווה ל3 בחזקת א0, לא?

וואלה, נראה לי שאתה צודק... אז אולי החוק הזה הוא אם a,b,c עוצמות אינסופיות? לא יודעת. יש איזה מתרגל שיכול לעזור פה?

תשובת מתרגל (אע"פ שהתשובת המתרגל כבר רשומה למעלה)

אני מתרגל, ואין לי מושג מי היה המתרגל או המרצה שלכם, חברה, אך נדמה לי שלא רשמתם במחברתכם את כל מה שנאמר בהרצאות או בתרגולים. אני נתתי את רשימת החוקים של חשבון עוצמות גם בתרגול שלי וגם בתרגול העזר של הקורס. שני החוקים שרשמתי למעלה (בפרט הראשון) הם נכונים ונוסחם הוא בדיוק מה שניסחתי לכם למעלה. בהצלחה במבחן! Adam Chapman 12:31, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

בעיות ענקיות עם הרכבת פונקציות... -עזרה בבקשה..-

זהו המשך לשאלה ששאלתי קודם, השאלה. אני ממש, ממש תקוע, בסעיף א' כיוון שמאלה, ובסעיף ב' שני הכיוונים (אדם, כנראה שלא הבנתי את הפתרון שלך). למשל ב-ב', אם f חחע, אז לפי מה שהבנתי (וגם בדקתי את זה!) היא הפיכה משמאל ולא מימין. לכן קיימת פו' כך ש hf=id. אבל זה ממש בעייתי ולא עוזר לפתור את הבעיה, כי צריך להוכיח שלכל תמונה של פי, כלומר לכל gf, קיים מקור g, אבל איך אפשר להוכיח את זה, הרי גם אם נרכיב את ההופכי של f משמאל, יצא hgf, שזה לא נותן כלום! מה עושים? (אם אפשר תשובה מפורטת גם לזה וגם לסעיפים\כיוונים האחרים) תודה רבה!

תשובה

אכן הייתה לי טעות בהקלדה אך כדאי שתקרא את התשובה שרשמתי למטה שוב.

עכשיו אולי אוסיף משהו שיסייע להבנה:

אם אתה רוצה להוכיח שפי היא על אתה צריך לקחת איבר בטווח ולהראות שיש לו מקור ,כלומר איזשהו g כך שgf שווה לאיבר בטווח שלקחת. אף אחד לא אומר לך שהאיבר בטווח הוא מן הצורה gf. זה מה שאתה צריך להוכיח!

אתה צריל לקחת איבר כללי בטווח, אותו $\psi$ ומראה שקיימת g כך ש$\psi=g \circ f$. זה מה שעשיתי בוהכחה למטה. אני ממליץ לך לקרוא אותה שוב.79.180.9.140 19:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

לא הבנתי את המשפט:"לכל פונקציה $\psi \in C^A$ יש מקור $g=\psi \circ h \in C^B$ לפי פונקציה $\Phi$, כי $\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi$", באמת שלא הבנתי למה G שווה לפסי הרכבה H ומה זה אומר "לפי פונקציה פי". אפשר הסבר קצת מפורט יותר? תודה!

אתה צריך להראות שקיימת g כך ש$\psi=g \circ f$. לא נתונה לך g שאתה צריך להוכיח שהיא $g=\psi \circ h \in C^B$. אתה יכול לבחור איזו g שאתה רוצה. אתה רק צריך להסביר למה אותה g שבחרת היא מקור לפסי. אני בחרתי את g להיות הפונקציה $\psi \circ h$ והראיתי שהיא אכן מקור לפסי. מכיוון שפסי הוא שרירותי זה אומר שהראיתי שלכל פסי שרירותי קיים מקור, ולכן פי היא על. כדי להראות שקיים מקור לאיבר אתה צריך לציין את המקור הפוטנציאלי ולהראות שהוא אכן מקור. המקור הוא לא מ שנתון לך. Adam Chapman 19:42, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אבל איך אתה יכול לדעת שg יכולה להיות מורכבת מפונקציה פסי ומהפונקציה h? ובאותה צורה, איך זה שאתה בוחר "פסי שרירותי" אם אתה קובע שהפסי הזה הוא הרכבה של g ושל f? אשמח לתשובה מפורטת ומובנת הפעם, שלא אצטרך לשבור את הראש כדי לנסות להבין אותה! תודה רבה!

הפרכה בעזרת דוגמה

בתרגיל 2 שאלה 5.ב, למה אי אפשר לתת דוגמה בשביל להפריך טרנזטיביות? הרי אם מראים שקיים B מסויים מאוד שעבורו אין טרנזטיביות, אז כבר R לא טרנזטיבי...לא?

השאלה: http://www.math-wiki.com/images/8/87/10BdidaTargil2.pdf

התשובה: http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf

תשובה

כן. אפשר לעשות גם את זה. אני לא חושב שעבור B ספציפי להראות שאין טרנזיטיביות יותר קצר מלהראות פשוט שאין טרנזיטיביות. מספיקה העובד שB מכיל שני איברים שונים. Adam Chapman 19:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה 1ג מועד א 2008

שלום רב, האם ההוכחה שלי לשאלה 1ג נכונה?

" נניח בשלילה שהחיתוך המתבקש אינו שווה לקבוצה ובה הקבוצה הריקה, ולכן משום שהקבוצה הריקה היא איבר המשותף לכל קבוצות החזקה קיימת קבוצה $X\in P(A)$ ושמקיימת גם $X\in P(B)$ (נשים לב שקבוצה זו שונה מהקבוצה הריקה)....... בסוף נקבל ש- $X\subseteq A \bigcap B$ ולכן החיתוך אינו קבוצה ריקה, וזו סתירה?"

כמובן שעם פירוט של כל השלבים באמצע. תודה מראש, גל.

אישור

תשובה נכונה בהחלט. Adam Chapman 18:52, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה

מהי עוצמת הקבוצה של קבוצות שאינן סופיות ואינן קו-סופיות (שהמשלים שלהן אינו סופי) מתוך הטבעיים? האם זה א כי קבוצה של קבוצות אינסופיות? או לא? תודה!

תשובה

התשובה היא $\aleph$ אך לא כי "קבוצה של קבוצות אינסופיות". הקבוצה $\{\mathbb{N},\mathbb{R}\}$ היא קבוצה של קבוצות אינסופיות המכילה שני איברים בדיוק. בלי קשר, כפי שלמדנו, המונח "אינסופי" הוא בעל משמעות מאוד רחבה בקורס הזה ולא ניתן להיעזר במונח הזה כדי לטעון אמיתות של תשובה מדוייקת כמו $\aleph$ .

העוצמה של הסופיות היא $\aleph_0$ וזו גם העוצמה של הקוסופיות. העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים היא $\aleph$. אחד מן החוקים שלימדנו אתכם לגבי חשבון עוצמות הוא שכשלוקחים קבוצה אינסופית ומפחיתים ממנה תת-קבוצה בעוצמה קטנה ממש ממנה אז העוצמה לא קטנה, ולכן אחרי שמפחיתים את תת-הקבוצות הסופיות ותת הקבוצות הקוסופיות מכלל תת-הקבוצות של הטבעיים נשארים עם קבוצה שעוצמתה $\aleph$. Adam Chapman 18:45, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

למה העוצמה של הסופיות היא $\aleph_0$ וזו גם העוצמה של הקוסופיות?

אהה. הנחתי שאת זה עברנו אם הגענו כבר לשאלה מה הגודל של ההפחתה. OK, אז ככה:

הגודל של תת-הקבוצות בגודל k (סופי) הוא לפחות $\aleph_0$ מצד אחד, ומאידך הוא אינו עולה על $\aleph_0^k$, ומכיוון שלk סופי מקבלים שמספר תת הקבוצות בגודל k הוא $\aleph_0$. כעת, קבוצת התת-קבוצות הסופיות היא איחוד זר של קבוצת תת הקבוצות מגודל אחד עם תת הקבוצות מגודל 2 וכו'. דהיינו, הגודל של קבוצת תת הקבוצות הסופיות הוא $\aleph_0 \cdot \aleph_0$, שזה בעצם (לפי מה שלמדנו) $\aleph_0$.

יש התאמה חח"ע ועל בין הקבוצות הקוסופיות לקבוצות הסופיות ע"י שליחת קבוצה למשלימה, ולכן עוצמת תת הקבוצות הקו-סופיות גם היא $\aleph_0$.Adam Chapman 19:04, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה!!

פרטים בקשר למבחן

בחלק מהמקומות כתוב שהמבחן ב4 ובחלק 3 וחצי, אפשר שעה (וגם מיקום, אם אפשר) סופיים? תודה!

הרכבה ריקה

אם $S=\{(a,b)\}$ ו-$R=\{(b,c)\}$ אז S הרכבה R זו קבוצה ריקה, או "לא קיים"?

תשובה

"לא קיים" זה מונח בעייתי. מונח יותר נכון הוא "לא מוגדר". בהינתן יחסים R בין A לB וS בין C לD, ההרכבה $S \circ R$ מוגדרת אם B=C. (כמו בפונקציות) במקרה שהצגת למעלה אני מניח שהתכוונת שS וR הם יחסים על A כלשהי שמכילה את a, b וc, ואז התשובה היא באמת קבוצה ריקה. Adam Chapman 18:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה. אני התכוונתי ש-S יחס מ-A ל-B ו-R יחס מ-B ל-C, אם כך התשובה פה היא לא מוגדר, אם הבנתי נכון.

הבנת נכון.Adam Chapman 18:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

סריג

אפשר בבקשה דוגמה לסריג?

תשובה

$\{a,b,c,d \}$ עם היחס סדר חלקי "<" כדלקמן : a>b,a>c,b>d,c>d.

Adam Chapman 18:31, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

לפי ההגדרה, לכל שני איברים צריך להיות סופרימום ואינפימום. אתה יכול בבקשה לכתוב מהם לכל שני איברים?

אם תיקח שני איברים שאחד גדול מהשני תקבל שהסופרימום הוא הגדול בין השנים והאינפימום הוא הקטן בין השניים. הקושיה היחידה שנותרה היא מה קורה בין c לb ובמקרה זה האינפימום הוא d והסופרימום הוא a. Adam Chapman 18:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אה, נראה לי שהבנתי. תודה. אבל "<" הוא לא יחס סדר חלקי, לא? (למשל אין רפלקסיביות)

"<" מעל המספרים הטבעיים הוא יחס סדר מלא (ולכן גם יחס סדר חלקי). פה הוא רק סימון. במקומו יכולתי לרשום R או כל דבר אחר. סתם נוח לי לרשום "<" כי אז ברור מה "כיוון" הסדר (כדי למנוע בלבול מקסימלי-מינימלי).Adam Chapman 19:36, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אבל איך? הרי אין רפלקסיביות...

תשובה לשאלות על התשובה

נו! כשכתבתי ">" יחס סדר חלקי התכוונתי שהוא מקיים רפלקסיביות+ את היחסים שרשמתי+את היחסים שמקבלים מתוך היחסים שרשמתי בהינתן הטרנזיטיביות של היחס. אם אתה רוצה שארשום את כל הזוגות בצורה מפורטת אז הנה: $R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,a),(c,a),(d,a),(d,c),(d,b)\}$. מקווה שזה יסייע להבנה.Adam Chapman 19:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

וואו, זה מבלבל. תודה וסליחה על ההטרחה.

שאלה על אחת השאלות פה

מה זה: "מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים"? מה הכוונה?

מספר היחסים מA לA (למשל "קטן מ" בקבוצה של מספרים)

תודה. הכוונה לכל יחס אפשרי? אז יש אינסוף! למשל: קטן, גדול, מקיים $a-b \in Z$, מקיים $a^2=b$ ועוד ועוד ועוד... נראה לי שלא הבנתי.

ולמה זה הגודל של $P(A \times A)$?

העובדה שרשמת שלוש נקודות לא את הופכת הרשימה לאינסופית. יחס, כפי שלמדתם, הוא תת קבוצה של $A\times A$. הרי בין כל זוג סדור של איברים מהקבוצה יכול להתקיים היחס או לא להתקיים. היחס הוא הקבוצה של כל הזוגות הסדורים בינהם מתקיים היחס. בפרט, כל קבוצה המוכלת ב$A\times A$ מהווה יחס אחד. אוסף כל היחסים הינו אוסף כל תתי הקבוצות הנ"ל וזה בדיוק $P(A\times A)$. ארז שיינר 15:15, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אההה.. הבנתי. תודה! (ומה שאני רשמתי הוא אמנם אינסופי, כי למשל $a^n=b$ לכל $n \in N$ הוא יחס נפרד, אבל יש שם יחסים שקולים כי הקבוצה סופית).

בדיוק, ומעל קבוצה אינסופית כמו השלמים בהחלט יש אינסוף יחסים. ארז שיינר 15:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'

אני לא מאמין, כתבתי עכשיו עשרות שורות של הפתרון שלי כדי לשאול אם הוא נכון, אבל זה נמחק לי =[. אז פשוט אשאל, אם אפשר, בבקשה, פתרון נכון לשאלה 3 סעיף ב', איזה פונקציה חח"ע ועל אפשר לעשות? זו שאלה קשה אז אני בטוח שיש עוד הרבה שירצו גם פתרון. תודה!!

אני גם בדיוק עושה אותה אבל יש לי דרך תיאורטית שאני לא בטוח שהיא נכונה. הרי יודעים שK בין 2 ל2 בחזקת ג, אם מראים שבשני מקרי הקצה של K הוא שווה ל2 בחזקת ג זה לא מספיק כדי להוכיח שוויון תמידי? זה קצת מוזר שלסעיף הזהיש 5 נקודות ולסעיף הראשון יש 10, הוא הרבה יותר קל

מצטערת בשבילך שהכל נמחק, בפעם הבאה אחרי כל כמה שורות תעתיק את כל מה שכתבת ואז תוכל להדביק במקרה הצורך.

שאלה 2 מועד ב' 2008

יש לי פתרון אבל אשמח מאם מישהו (עדיף מתרגל) ייתן את הפתרון כדי שאני אהיה בטוח, אני אנסה לכתוב את הפתרון שלי כאן: $(-1)^n*{1519-101n \choose 20}$${1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}$ שיאללה אני לא מאמין שהצלחתי לכתוב את זה

אני לא מתרגל, יצא לי דומה לשלך רק שהכנסתי את הגורם הראשון לתוך הסכום, וגם נראה לי שצריך להוסיף כמה פעמים כל חיתוך של קבוצות מופיע, למשל יש 2 מתוך 20 פעמים חיתוך 2 Ai ים (אם עשית את זה בעיקרון הכלה והדחה וצריך לצאת בערך כמו שלך רק עם i מתוך 20 בתוך הסכום

כן כן שמתי לב לזה עכשיו, כתבתי את החלק של הכמה יש מתוך בדף אבל התלהבתי כל כך שהצלחתי לכתוב את זה באתר ששכחתי להוסיף, התוצאה שלי היא כזאת:

$((-1)^n*{1519-101n \choose 20}*{20 \choose n})$${1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}$

האמת שעכשיו אני לא בטוח אם זה צריך להיות ${1519-101n \choose 20}$ או ${1519-101n \choose 20-n}$

איך להוכיח (2008 מועד ב' שאלה 1 א')

האם אפשר להוכיח ככה, או שיש דרך אחרת? נניח $f(x1,u1)=f(x2,u2)$ וכן $f(x1,u1)={v1 (muchal-be) u1 | x1 (shayach-le) v1}, f(x2,u2)=cmo-x1,u1$ ולכן לכל V1, V2 שמוכלים בU1, U2 מתקיים V1=V2 ולכן U1=U2 וגם x1=x2? משהו לא נכון בהוכחה הזאת נכון? אז איך מוכיחים? תודה!

תשובה+הערות כתיבה

1)אם רוצים לרשום לכתוב "}" אז כותבים }\ ואם רוצים לכתוב "{" אז כותבים {\.

2) "מוכל ב" כותבים (כשצד שמאל מוכל בצד ימין) subseteq\ וכשצד ימין מוכל בצד שמאל supseteq\. מוכל ממש זה אותה פקודה רק בלי הeq.

3) "שייך" ל רושמים (כשצד שמאל שייך לצד ימין) כin\ וכשצד ימין שייך לשמאל רושמים ni\.

עכשיו לגבי התשובה:

התשובה שלך איננה נכונה משום שאתה מנסה להוכיח טענה שהיא שקרית, דהיינו ניתן לתת לה דוגמאות נגדיות. A כוללת לפחות שני איברים שונים, נסמנם x1 וx2. כעת $f(x_1,\{x_2\})=\emptyset=f(x_2,\{x_1\})$, משמע f לא חח"ע. Adam Chapman 18:54, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלות 2א+ב מועד ב 2009

שלום רב, כיצד עליי לנמק בפתרון השאלה 2א? התחלתי את הפתרון כך:

"ישנם $n$ מספרים בקבוצה ולכן סך כל האפשרויות לתמורות שונות הוא $n!$. כמו כן קיבלנו שתי אפשרויות:

1. $n$ לפני $n-1$

2. $n$ אחרי $n-1$"

השאלה שלי היא איך אני מנמק לאחר מכן שקיימות $0.5n!$ תמורות כנדרש:

1. "...לכן לכל תמורה שתי אפשרויות ולכן בסה"כ יש $0.5n!$ תמורות שעונות לתנאי זה".

2. "כעת נגדיר $A$ קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 1, $B$ קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 2. כמו כן נגדיר פונקציה $f:A->B$ ע"י לכל $x$ ב-$A$ יתקיים ש$f(x)=y$כאשר $y$ היא התמורה בה איברי $x$ מופיעים בסדר הפוך (כלומר התמורה $1,2$ תהפוך ל-$2,1$). פונקציה זו חח"ע ועל ולכן $|A|=|B|$ ומכיוון שהחיתוך ביניהם זר הרי שאפשר לומר ש-$|A|+|B|=2|A|=|C|$ (כאשר $C$ היא קבוצת כל התמורות). נציב $|C|=n!$ ונקבל את העוצמה הדרושה של $A$...".

הבעיה היא שדרך 1 נקראית לי לא מפורטת מספיק ודרך 2 היא די ארוכה. בסעיף א זה עוד נסבל אבל בסעיף ב זה בכלל נורא כי כבר קיימות 6 אפשרויות (ואז עליי לבנות 6 פונקציות) אז איך עליי לנמק את מה שאמרתי? תודה מראש, גל.

תשובה

אני לא מתרגל אך יש לי את הפתרון שאדם כתב באחד התרגולים שלו. כמו שאמרת, יש סך הכל $n!$ אפשרויות לסדר את המספרים. ניתן לחלק מספר זה של אפשרויות ל2 חלקים: חלק ראשון הוא האפשרויות ש$n-1$ מופיע לפני $n$ והחלק השני הוא ההפוך- $n$ מופיע לפני $n-1$, ניתן לראות כי 2 חלקים אלה הם שווים, נניח אתה בודק את מספר האפשרויות בהן $n-1$ מופיע לפני $n$, אז מספר האפשרויות ההפוך הוא אותו מספר כיוון שהפעם החלפת בכל אפשרות בין $n$ ל$n-1$, ולכן התוצאה היא $0.5n!$. בסעיף ב' אתה משתמש בתוצאה של סעיף א' ואתה יודע שהיא מתחלקת ל-3 אפשרויות ובאותו אופן כמו בסעיף א' גם 3 אפשרויות אלה הן שוות ולכן בסך הכל התוצאה היא $1/6n!$. אני שוב אומר שאני לא מתרגל אבל זאת הדרך בה אדם פתר את התרגיל הזה

הערונת

אתה מתכוון ל6 אפשרויות ולא שלוש (כל אפשרות שקולה לתמורה על שלושה איברים ומסםר התמורות על 3 איברים הוא 6), ולכן התוצאה שרשמת שהיא שישית ממספר התמורות על n איברים היא נכונה. Adam Chapman 18:09, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה קצרצרה נוספת

מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים, זה בעצם מספר הפונקציות מA לA, כלומר n בחזקת n? או משהו אחר? תודה!

תשובה

מספר היחסים על קבוצה A בת n איברים היא הגודל של $P(A \times A)$, שהיינו $2^{n^2}$. Adam Chapman 11:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה קצרה מאוד על עוצמות

קבוצת כל הפונקציות מהטבעיים לקבוצת תת הקבוצות של הטבעיים, מהי עוצמתה? לפי החישוב שלי, הקבוצה שווה לP)N( בחזקת N, כלומר העוצמה שווה ל-א בחזקת א0. אך מהי העוצמה א בחזקת א0? א? או יותר, 2 בחזקת א? איך אפשר לדעת את זה? תודה רבה!

תשובה

ישנן כמה נוסחאות לגבי עוצמות אינסופיות שצריך לדעת. אחת מהן היא שאם $k$ אינסופית ו$\lambda<k$ אזי $k^\lambda=k$. Adam Chapman 11:29, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

3 שאלות על הרכבת פונקציות

-אם $g*f=Id$ אז $g(f(x))=x$ או ש $f(g(x))=x$? כי ניתקלתי בבעיה שקשורה לזה (השאלה השניה). -אפשר להגיד ש אם F חחע אז F הפיכה משמאל ואם F על אז היא הפיכה מימין, נכון? -איך מוכיחים את מה שצריך להוכיח בשאלה 2 במבחן 2007 מועד א' (http://math-wiki.com/images/4/4f/BdidaExamMoedA2007.pdf) ?

ב-א', הוכחתי את הכיוון משמאל לימין, ע"י כך שאם g1*f=g2*f אז בגלל שf הפיכה מימין אז נרכיב את f-1 מימין ואז g1=g2. בכיוון השני נתקעתי.

ב-ב', לא הצלחתי בכלל. התחלתי ככה: צריך להוכיח שf חחע, כלומר או שנוכיח שאם f(a1)=f(a2) אז a1=a2 או שנוכיח שהיא הפיכה משמאל (לא בטוח מה עדיף). הפונקציה הזאת שמסומנת בסימון של קבוצה ריקה היא על ולכן והפיכה מימין, ולכן O*h=Id ולכן (ופה נתקעתי, לא הייתי בטוח $O(h(x))=x$ ולכן (?) $h(x)*f=x$ ופה יש משהו לא הגיוני. אפשר עזרה? תודה!

תשובה

אם $g*f=Id$ אז $g(f(x))=x$.

בקשר לשאלה במבחן הנ"ל, הפיתרון הפשוט (לדעתי) של הסעיף הוא כדלקמן:

כיוון אחד

1) אם $f$ חח"ע אזי היא הפיכה משמאל ע"י איזושהי פונקציה שנסמנה $h : B \rightarrow A$.

2) כעת, לכל פונקציה $\psi \in C^A$ יש מקור $g=\psi \circ h \in C^B$ לפי פונקציה $\Phi$, כי $\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi$ ולכן $\Phi$ על.

כיוון שני

1) אם $f$ לא חח"ע אז קיימים $a_1,a_2 \in A$ שונים כך ש$f(a_1)=f(a_2)$.

2) לכן לכל $g \in C^B$, הפונקציה $\Phi(g)=g \circ f$ מקיימת $g \circ f(a_1)=g \circ f(a_2)$.

3) אולם, קיימות הפונקציות $h \in C^A$ כך ש$h(a_1) \neq h(a_2)$, כי $C$ מכילה לפחות שני איברים, וכתצואה מכך $\Phi$ איננה על.

Adam Chapman 11:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אם F חחע אז היא הפיכה משמאל, לא מימין, לא?

צודק, רשמתי את ה"הפיכה מימין" כשהתכוונתי להפיכה משמאל, וגם השתמשתי בה כהפיכה משמאל כך שהמילה "ימין" צריכה פשוט להיות מוחלפת ב"משמאל". אשנה זאת מיד.79.180.9.140 19:11, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה (קצת מוזרה, אבל מבלבלת) על איחוד קבוצות

נניח שX שייך לA חיתוך B חיתוך C. אני יכול להגיד בוודאות ש X שייך ל

(AחיתוךBחיתוךC) איחוד (AחיתוךBחיתוךC'(משלים)) איחוד (AחיתוךB'חיתוךC') איחוד (A'חיתוךB'חיתוךC)? האם זה נכון בטוח בגלל שאחד מהגורמים באיחוד הוא A חיתוך B חיתוך C? תודה!

תשובה

כן. ניתן לומר זאת בודאות כי אחד הגורמים באיחוד הוא הוא A חיתוך B חיתוך C.

Adam Chapman 10:49, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה אני מאוד מעריך את כל העזרה שלך!!

עזרה (מבחן 2009 מועד ב' שאלה 7 ב'2 .)

הוכחתי את 1, ע"י חילוק למקרים, אם C=100 אז A וB יכולים להיות מ1 עד 99, 99 בריבוע אפשרויות, אם C=98 אז יש 98 בריבוע אפשרויות וכך הלאה ומקבלים את הסכום הדרוש. אבל לא משנה איך אני מנסה להסתכל על זה, אני לא רואה איך העוצמה של S שווה לתוצאה שכתובה ב2. אפשר עזרה לפני המבחן? תודה רבה!!

תשובה

את חלק ב' מוכיחים באופן קומבינטורי. כשיש לנו שלישיה סדורה $(a,b,c)$ כך ש$a<b \wedge a<c$ אז קורה אחד (ואחד בלבד) משלושת הדברים הבאים:1) $b=c$ או 2) $b<c$ או 3) $b>c$. כל המקרים ב1) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת שני איברים מתוך 100, הצבת הקטן מבין השניים באינדקס הראשון והצבת הגדול מבין השניים באינדקסים השני והשלישי; כל המקרים ב2) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטן ביותר באינדקס הראשון, הצבת האמצעי באינדקס השני והצבת הגדול ביותר באינדקס השלישי; כל המקרים ב3) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטןביותר באינדקס הראשון, הצבת הגדול ביותר באינדקס השני והצבת האמצעי באינדקס השלישי. עקב כך, מקבלים את הנוסחה הרשומה בטופס המבחן בסעיף ב'.Adam Chapman 10:46, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה

איחוד או חיתוך

סליחה שאני שואלת המון שאלות..

איך מוכיחים שאם X מוכלת ב-A חיתוך B אז X מוכלת ב-A וגם X מוכלת ב-B? (במיוחד צריך לשים לב שההוכחה לא מתאימה גם לאיחוד במקום חיתוך, בשונה מההוכחה אצלי במחברת)

שוב, תודה מראש!

שאלות זה טוב

אם $X \subseteq A \bigcap B$ אז לכל $x \in X$ מתקיים $x \in A \bigcap B$, דהיינו $x \in A$ וגם $x \in B$. מכיוון שלכל $x \in X$ מתקיים $x \in A$ אז $X \subseteq A$, ומכיוון שלכל $x \in X$ מתקיים $x \in B$ אז $X \subseteq B$. Adam Chapman 00:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה, אבל: אם $X \subseteq A \bigcup B$ אז לכל $x \in X$ מתקיים $x \in A \bigcup B$, דהיינו $x \in A$ או $x \in B$. לכל $x \in X$ מתקיים $x \in A$ ואז*** $X \subseteq A$, או $x \in B$ ואז*** $X \subseteq B$.

מה שמסומן ב-*** כמובן לא נכון, אבל איך מסבירים את זה שהדבר נכון רק עבור חיתוך ולא איחוד?

כל $x\in X$ מקיים $x\in A$ -או- $x\in B$. בפרט, מאד ייתכן שקיים $x\in X$ כך ש$x\notin A$. אתה שינית לוגית את המשפט - במקום לומר 'כל איבר שייך לA או B' אמרת 'כל האיברים שייכים לA או כל האיברים שייכים לB'. ארז שיינר 01:18, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

באמת שיניתי לוגית את המשפט בלי לשים לב! אם כך, רק אם לכל $x \in X$ מתקיים $x \in A$ אז $X \subseteq A$, ובאיחוד זה לא לכל x. הבנתי, תודה לכם!

הוכחה טריוויאלית

מהי הדרך הנכונה ביותר להוכיח שאם $P(A)$ מוכל (או שווה) ב(ל)-$P(B)$ אז A מוכל (או שווה) ב(ל)-B?

(פשוט ההוכחה אצלי במחברת לא ברורה לי)

תשובה

אם $P(A) \subseteq P(B)$ אז לכל $X \in P(A)$ מתקיים $X \in P(B)$. בפרט, $A \in P(A)$ ולכן $A \in P(B)$, כלומר $A \subseteq B$. Adam Chapman 23:57, 3 בספטמבר 2010 (IDT)

אהה, תודה!

יחסים

האם האיבר הקטן ביותר הוא תמיד המינימלי היחיד? (כשהוא קיים)

תשובה

כן Adam Chapman 23:32, 3 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה!