88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5

חזרה למערכי התרגול

צירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span)

הגדרה: יהיה $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$. יהיו $v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V$ ו $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{F}$ אזי ביטוי מהצורה $\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}$ נקרא צירוף לינארי (צ"ל) של $v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V$.

לדוגמא: $V=\mathbb{R}^{2}$ מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$. אזי

$\pi\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right)-\sqrt{3}\left(\begin{array}{c} 2\\ 2 \end{array}\right)$

הוא צירוף לינארי.

הגדרה: המרחב הנפרש על ידי הוקטורים $v_1,...,v_n$ מוגדר להיות קבוצת (אוסף) כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים הללו. כלומר,

$span\{v_1,...,v_n\}=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | a_1,...,a_n\in\mathbb{F}\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+a_nv_n=v\}$.

באופן כללי: תהא $S\subseteq V$ תת קבוצה של מ"ו (ייתכן קבוצה אין סופית) אזי

$span(S)=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | n\in \mathbb{N}, \, a_1,...,a_n\in\mathbb{F}, \, v_1,\dots,v_n\in S\}$

באופן שקול $span(S)$ הוא איחוד כל הצירופים הלינאריים של כל תתי הקבוצות הסופיות של $S$.

הערה: $span(S)$ הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. בנוסף הוא התת מרחבב הקטן ביותר (מינימום לפי יחס ההכלה) המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש

כלומר אם ת"מ $W\leq V$ מקיים $S\subseteq W$ אזי $span(S)\subseteq W$

הוכחה אם $v\in spanS$ אזי קיימים וקטורים וסקלרים $v_1,...,v_k\in S$, $a_1,...,a_k\in\mathbb{F}$ כך שמתקיים $v=a_1v_1+...+a_kv_k$. מתוך הנתון ש$S\subseteq W$ נובע ש$v_1,...,v_k\in W$ ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור $v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W$ משל.

הערה: אם $S=\emptyset$ קבוצה ריקה אזי מגדירים פורמאלית כי $span(S)=\{0\}$

תכונות

יהיה $V$ מ"ו. יהיו $A,B\subseteq V$ תתי קבוצות ו $W,U\leq V$ תתי מרחבים. אזי

1. $U+W=span\{U\cup W\}$, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.
2. בתירגול הקודם ראינו כי $span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}$
3. $A\subseteq span(A)$
4. $span(W)=W$ (רק אם $W$ ת"מ!)
5. $span(A)\subseteq span(B)$
6. מסקנה $A\subseteq span(B)$ אזי $span(A)\subseteq span(B)$ (הוכחה$span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)$)

תרגילים

תרגיל 1

במרחב הוקטורי $V=\mathbb{R}^{2}$ מעל $\mathbb{R}$ נגדיר $S=\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2\\ 2 \end{array}\right)\}$

מצא עבור אילו $a,b\in\mathbb{R}$ מתקיים כי $\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\in span(S)$

פתרון

שאלה שקולה: עבור אילו $a,b\in\mathbb{F}$ קיימים סקלארים $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ כך ש

$\alpha_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c} 2\\ 3 \end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c} -2\\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)$

שזה בעצם לשאול האם למערכת $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & a\\ 1 & 3 & 2 & b \end{array}\right)$ יש פתרון.

נדרג ונבדוק

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & a\\ 1 & 3 & 2 & b \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & a\\ 0 & 1 & 4 & b-a \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -10 & 3a-2b\\ 0 & 1 & 4 & b-a \end{array}\right)$

כלומר יש פתרון למערכת (אפילו אינסוף פתרונות) ולכן לכל $a,b\in\mathbb{R}$ מתקיים כי $\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\in span(S)$

כלומר $span(S)=\mathbb{R}^{2}$

תרגיל 2

במרחב הוקטורי $V=\mathbb{R}^{2\times2}$ מעל $\mathbb{R}$ נגדיר $S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 3 \end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\}$

מהו $span(S)$ ?

פתרון

שאלה שקולה: עבור אילו $a,b,c,d\in\mathbb{F}$ קיימים סקלארים $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ כך ש $\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)$

אם נייצג כל מטריצה באמצעות וקטור. למשל $\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 3 \end{array}\right)\leftrightarrow\left(\begin{array}{c} 2\\ 0\\ 1\\ 3 \end{array}\right)$

נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשואאה $\alpha_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c} 2\\ 0\\ 1\\ 3 \end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ d \end{array}\right)$

(שימו לב שאלו בדיוק אותם ארבעת המשוואות).

כעת נוכל פשוט לשאול האם למערכת $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & a\\ 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 1 & 3 & 0 & d \end{array}\right)$ יש פתרון

נדרג ונבדוק:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & a\\ 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 1 & 3 & 0 & d \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 1 & 3 & 0 & d\\ 1 & 2 & 1 & a \end{array}\right)\to\\\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 0 & 3 & 1 & d-b\\ 0 & 2 & 2 & a-b \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 0 & 0 & -2 & d-b-3c\\ 0 & 0 & 0 & a-b-2c \end{array}\right)

רואים שיש פתרון אמ"מ $a-b-2c=0$

לכן התשובה הסופית היא

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): span(S)=\{\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)\,|\,a-b-2c=0\}= \{\left(\begin{array}{cc} b+2c & b\\ c & d \end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = \\ \{ b\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = span\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\}

כמו שרואים בפתרון הסופי, ניתן להביע את התת מרחב שלנו בכמה צורות. הנה עוד דוגמא

הערה: ניתן להגדיר/להציג תת מרחב בכמה דרכים

בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו תת המרחב הוקטורי.

תרגיל.

יהי $V=\mathbb{R}^4$, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות:

• $span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}$

• $\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}$

• $\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}$

פתרון:

נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, $(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}$ אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש $(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)$. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות:

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & | & x \\ 1 & 1 & 1 & | & y \\ 1 & 3 & 2 & | & z \\ 1 & -1 & 0 & | & w \\ \end{pmatrix}$

נדרג את המערכת לקבל

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & y \\ 0 & 2 & 1 & | & x \\ 0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\ 0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\ \end{pmatrix}$

זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת, שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא האם קיים פתרון למערכת ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם $z-y-x=0$ וגם $w-y+x=0$ וזו בדיוק הקבוצה השנייה.

(שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)

כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם נחפש את הפתרון הכללי.

$\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\ \end{pmatrix}$

יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה $\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)$

תלות לינארית

דיברנו על כך שצירופים לינאריים הינם כל הסכומים (כולל כפל בסקלרים) של הוקטורים הנתונים. אם נסתכל על פרישה באופן גיאומטרי, אנו רואים שעל ידי וקטורים נפרשים: קו ישר, מישור, מרחב או משהו 4 מימדי ומעלה. כעת, אנו רוצים לראות אילו מהוקטורים "מיותר" כלומר, אם אנחנו יודעים ש10 וקטורים פורשים מישור מסויים, כמה וקטורים מהם אפשר להסיר ועדיין לקבל את אותו המישור? במקרה וניתן להסיר וקטור כלשהו, קבוצה הוקטורים תקרא תלויה לינארית.

באופן פורמאלי:

הגדרות:

יהא $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$. יהיו וקטורים $v_1,...,v_n\in V$ כלשהם אזי

1. הצ"ל הטריוואלי הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי $0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0$ .
2. נאמר ש $v_1,...,v_n\in V$ בילתי תלויים לינארית אם אם הצ"ל היחידי שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: $\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0$
3. $v_1,...,v_n\in V$ יקראו תלויים לינארית אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים $a_1,...,a_n\in\mathbb{F}$ לא כולם אפס כך שמתקיים $a_1v_1+...+a_nv_n=0$

הגדרה (הכלל): קבוצה $S\subseteq V$ נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים, כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל, אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית בת"ל של וקטורים.]

הערה: הקבוצה הריקה $\emptyset \subseteq V$ מוגדרת כקבוצה בת"ל.

דוגמאות

דוגמא 1

$V=\mathbb{R}^{3}$ מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ $\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\}$ בת"ל כי

$\alpha_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)=0$

פירושו

$\left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$

שזה גורר $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}=0$.

דוגמא 2

2. (דוגמא מייצגת) $V=\mathbb{R}^{3}$ מעל $\mathbb{R}$. האם הקבוצה $\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1\\ -3\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\}$ בת"ל?

נתבונן ב $\alpha_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c} -1\\ -3\\ 0 \end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)=0$ ונמיר אותו להצגה מטריצית

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$

כעת השאלה שקולה האם יש פתרון לא טריאלי למערכת. נדרג ונבדוק

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 2 & -3 & -1\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

לכל הצבה $z=t$ נקבל $\left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -t\\ -t\\ t \end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c} -1\\ -1\\ 1 \end{array}\right)$ פתרון לא טרוויאלי. כלומר הוקטורים הנ"ל ת"ל.

אם רוצים לראות את זה מפורש ניקח למשל $t=1$ ונקבל צ"ל לא טריוואלי שמתאפס

$-1\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c} -1\\ -3\\ 0 \end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)=0$

דוגמא 3

יהי $0\not=v\in V$ אזי $\{v\}$ קבוצה בת"ל.

לחילופין יהי $S=\{v_{1}\dots,v_{n}\}$ כך ש $0_{V}\in S$ אזי $S$ ת"ל (ניקח צ"ל שכל המקדמים שווים אפס פרט למקדם של וקטור האפס שניקח להיות שווה 1).

דוגמא 4

$V=\mathbb{R}_{2}[x]$ מרחב הפלינומים עד דרגה 2 מעל $\mathbb{R}$ תהא $S=\{2+6x,x^{2},1+2x+2x^{2}\}$. האם $S$ בת"ל?

פתרון: צריך לבדוק האם $\alpha_{1}(2+6x)+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}(1+2x+2x^{2})=0$ גורר שזה הצ"ל הטריאלי.

לפי השוואת מקדמים נקבל כי  : $2\alpha_{1}+\alpha_{3}=0,\,6\alpha_{1}+2\alpha_{3}=0,\,\alpha_{2}+2\alpha_{3}=0$

ובצורה מטריצית $\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\ 6 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$

נבדוק אם למערכת יש פתרון לא טריאלי.

$\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

כלומר התשובה היא שלמערכת אין פתרון לא טריאלי. כלומר $S$ בת"ל

דוגמא 5

תרגיל.

האם הפולינומים $x^3-x+1,2x^2+x-1,x^3-1$ תלויים לינארית?

פתרון:

$a(x^3-x+1)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0$ אם"ם

$(a+c)x^3+2bx^2+(b-a)x+(a-b-c)=0$ אם"ם

$(a=-c)\and(2b=0)\and(b=a)\and(a=b+c)$ אם"ם

$a=b=c=0$

אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שמתאפס הינו הטריוויאלי ולכן הפולינומים בת"ל.

משפט

$v_1,...,v_n\in V$ ת"ל אם"ם אחד מהוקטורים הינו צירוף לינארי של האחרים

הוכחה

הוקטורים ת"ל אם"ם קיימים סקלרים כך ש $a_1v_1+...+a_nv_n=0$, ולפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס. נניח ב.ה.כ. (בלי הגבלת הכלליות) ש $a_1\neq 0$. לכן $v_1=-\frac{a_2v_2+...+a_nv_n}{a_1}$ ולכן $v_1=\frac{-a_2}{a_1}v_2+...+\frac{-a_n}{a_1}v_n$.

בכיוון הפוך נניח כי (ב.ה.ב) הוקטור הראשון $v_1=\sum_{i>1}\alpha_i v_i$ הוא צ"ל של האחרים. אזי $\sum_{i>1}\alpha_i v_i-v_1=0$. כלומר קיבלנו צ"ל שמתאפס שיש מקדם אחד לפחות ששונה מאפס (המקדם של $v_1$ הוא $-1$) על פי הגדרה הוקטורים ת"ל

שימו לב שיצא לנו שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים, כמובן שזה לא נכון. זה נובע רק מטיעון ב.ה.כ שלנו, קל למצוא דוגמאות בהן הוקטור הראשון אינו צ"ל של האחרים.

ממשפט זה קל לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות:

מסקנה: אם $v_1$ הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: $span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}$.

ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות

תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות=

יהיו $v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m$ נגדיר $A\in mathbb{F}^{m\times n}$ להיות המטריצה שעמודותיה הן $v_1,...,v_n$ (כלומר $C_i(A)=v_i$).

יהיה $b\in \mathbb{F}^m$ וקטור (פתרון).

הוכח כי: 1. $b\in span\{v_1,...,v_n\}$ אם"ם קיים פתרון למערכת $Ax=b$

2. במקרה זה הפתרון $x$ הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר, כאשר $x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$ מתקיים $b=x_1v_1+...+x_nv_n$

3.נניח והוקטורים שייכים למרחב $\mathbb{F}^n$ (כלומר $m=n$ והמטריצה ריבועית). הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את $b$ אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?

פתרון

1+2. ישירות מכפל עמודה-עמודה נקבל כי $Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n$. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש $b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n$.

אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך חשוב מאד לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: $Ax$ הינה צירוף לינארי של עמודות $A$ עם הסקלרים מ-$x$.

3. אם המטריצה הפיכה אזי $x=A^{-1}b$ הוא הפתרון היחיד. ולהפיך אם קיים צירוף לינארי יחיד הנותן את $b$ אזי אם נדרג את $A$ קנונית נגיע למטריצת היחידה. זה אומר ש $A$ הפיכה.

במקרה זה שהמטריצה הפיכה נסיק כי גם למערכת $Ax=0$ יש פתרון יחיד שהוא $x=0$. כלומר צ"ל היחיד של עמודות $A$ שמתאפס הוא הצ"ל הטריוויאלי. כלומר עמודות $A$ בת"ל.

בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק שמטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל.

בסיס ומימד

הגדרה: יהיה $V$ מרחב וקטורי (או תת מרחב) מעל $\mathbb{F}$. קבוצה $B\subset V$ תקרא בסיס אם

1. $B$ בת"ל
2. $B$ פורשת את המרחב, כלומר $span(B)=V$

הגדרה: המימד של $V$ הוא $dim_{\mathbb{F}}V=|B|$ (מספר האיברים ב $B$) כאשר $B$ הוא בסיס. אם $dim_{\mathbb{F}}V<\infty$ אזי $V$ יקרא נוצר סופית.

משפט: ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומר כל שתי בסיסים $B,B'$ בעלי אותה עוצמה (בעלי אותו מספר איברים).

משפט: לכל מרחב וקטורי קיים בסיס

דוגמאות

בסיסים סטנדרטים:

1. $V=\mathbb{R}^{3}$ אזי $B=\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\}$ הוא בסיס. (המימד 3)

בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל $V=\mathbb{F}^{n}$ הוא $B=\{e_i | 1\leq i \leq n\}$ ("וקטורי היחידה")

2. $V=\mathbb{C}^{3\times2}$ אזי $B=\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\}$ הוא בסיס. (המימד הוא $3\cdot 2=6$)

בהכללה: הבסיס הסטנדרטי ל $V=\mathbb{F}^{m\times n}$ הוא $B=\{E_{i,j} | 1\leq i \leq m, \;1\leq j \leq n\}$ ("מטריצות היחידה")

3. $V=\mathbb{R}_{2}[x]$ מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל. בסיס $B=\{1,x,x^{2}\}$ (מימד 2+1)

בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל $V=\mathbb{F}_{n}[x]$ הוא $B=\{1,x,x^{2},\cdots x^n \}$

4. מרחב הפולינומים $\mathbb{F}[x]$. הבסיס $B=\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\dots\}$ הוא בסיס אינסופי.

5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס $\{0\}$ הוא הקבוצה הריקה $B=\emptyset$

הערה: $\{0\}$ אינו בסיס כי כל קבוצה המכילה את 0 היא תלויה לינארית

תכונה חשובה של בסיס

תרגיל: יהא $V$ מרחב וקטורי, $B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ בסיס.

אזי כל $v\in V$ ניתן להציג כצ"ל של $B$ בצורה יחידה.

הוכחה

יהי $v\in V$

1. כיוון ש $B$ פורשת את $V$ קיים צ"ל של $B$ ששווה ל $v$
2. יחידות: נניח שני צ"ל של $B$ שווים ל $\sum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i$ נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי $\sum_{i=1}^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0$. כיוון ש $B$ בת"ל נקבל כי $\forall i (\alpha_i-\beta_i) = 0$ ולכן $\forall i\; \alpha_i=\beta_i$ כנדרש.

הגדרה יהא $V$ מרחב וקטורי, $B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ בסיס ויהי $v\in V$ . ההצגה של $v$ לפי בסיס $B$ הוא וקטור המקדמים בצ"ל. כלומר $[v]_B= \left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \vdots\\ \alpha_{n} \end{array}\right)\in\mathbb{F}^{n}$ אמ"מ $v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i$

לפני שנעבור לדוגמאות יותר מסובכות נראה קריטריונים שקולים לבסיס

קריטריונים שקולים לבסיס

בהגדרה של תלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש.

הטענה הנ"ל באופן פורמאלי היא הטענה הבאה:

טענה: יהיה $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$. תהא $S=\{v_{1},\dots v_{n}\}$ קבוצה ונניח כי קיים $i$ כך ש $v_i$ תלוי באחרים.

אזי $span(S)=spab(S\setminus \{v_i\})$

כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה תהיה בסיס.

זוהי בניה "מלמעלה ללמטה". כלומר מתחילים עם $V$ ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן.

בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ומוסיפים וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס.

בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה:

טענה: יהיה $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$ ותהא $S=\{v_{1},\dots v_{n}\}$ קבוצה בת"ל.

אם קיים $v\in V\setminus span(S)$ אז $S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}$ בת"ל גם כן.

הוכחה: נניח $\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0$

$\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow$

$\alpha=0\Leftarrow$ כי אחרת נקבל ש $v\in span(S)$ ע"י חילוק ב $-\alpha$

$\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow$

$\alpha_{i}=0\Leftarrow$ כי $S$ בת"ל.

לסיכום:

משפט: יהיה $B\subset V$ אזי התנאים הבאים שקולים:

1. $B$ בסיס.
2. $B$ קבוצה בת"ל מקסימאלית
3. $B$ קבוצה פורשת את $V$- מינימאלית.

מסקנה חשובה ממפרק זה היא

1. כל קבוצה $B$ בת"ל ניתן להשלים לבסיס
2. לכל קבוצה פורשת $S$ קיימת תת קבוצה שהיא בסיס

(חידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?)

משפט השלישי חינם

יהיה $V$ מ"ו ותהי $S\subseteq V$ תת קבוצה. אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים ש $S$ היא בסיס ל $V$:

1. $S$ בת"ל
2. $spanS=V$
3. $\#S=dimV$ (מספר האיברים ב$S$ שווה למימד של $V$.

תרגיל

תרגיל: $V=\mathbb{R}^{2\times2}$ . השלם את $S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 3 \end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\}$ לבסיס

פתרון: ראינו כבר כי $span(S)= \{\left(\begin{array}{cc} b+2c & b\\ c & d \end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = span\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\}$

מכאן אפשר לראות בקלות כי

1. $S$ בת"ל. כי $S$ פורשת את $span(S)$ והמימד שלו 3 כמו גודל $S$. על פי השלישי חינם $S$ בת"ל.
2. $v_4= \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right) \not\in span(S)$ ולכן $S\cup \{v_4\}$ בת"ל גם כן (כמו שהוכחנו באחד התרגילים).

כעת קיבלנו ש $B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ קבוצה בת"ל בת 4 איברים = $\dim V$ על פי השלישי חינם $B$ בסיס

תרגיל חשוב (חלק מ7.7)

יהיה V מרחב וקטורי, ויהי W תת מרחב. הוכח/הפרך: אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרח

פתרון

נתון שdimV=dimW. נניח בשלילה ש$V\neq W$ ונראה אם אנחנו מקבלים סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון $W\subseteq V$ העובדה ש$V\neq W$גוררת בהכרח שקיים וקטור $v\in V$ כך ש $v\notin W$ (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) $S=\{v_1,...,v_n\}$.

כעת, נוכיח ש$S\cup \{v\}$ בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של $v_1,v_2,..,v_n,v$ שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של $v_1,...,v_n$ וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.

על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W הוא n.

התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.

תרגיל 7.17

יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:

• B בסיס עבור V
• וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה $A\subseteq B$ מתקיים $V=spanA\oplus span(B/A)$

הוכחה

ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:

נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ $B=\{v_1,...,v_n\}$ ו $A=\{v_1,...,v_j\}$. יש להוכיח בעצם שמתקיים $V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\}$. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:

• $span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}$
• $V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}$

(שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)

נניח בשלילה שהתנאי הראשון אינו נכון, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר קיימים סקלרים כך ש$a_1v_1+...+a_jv_j=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n$. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB בת"ל.

כעת, ברור שהמרחב כולו שווה לסכום הזה מכיוון שהמרחב מורכב מצירופים לינאריים של B והסכום הזה שווה בדיוק לכל הצירופים הלינאריים של B. (למעשה זה נובע מהתכונה הבאה: לכל שתי קבוצות A,B מתקיים: $spanA+spanB=span(A \cup B)$)

נוכיח שהתנאי השני גורר את הראשון:

מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש $V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB$ כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.

נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר $A=\{u\}$ ומכייון שבהכרח $u \neq 0$ נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)