פונקציה רציפה במידה שווה

פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע I אם לכל $\epsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל $x,y$ בקטע, אם $|x-y|<\delta$ אז $\Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon$. תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.

משפט

פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

הוכחה

תהי $f$ בעלת נגזרת חסומה בקטע $A$ . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות $x_n,y_n$ בקטע המקיימות

$|x_n-y_n|\to 0$

$\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0$

לכן קיימת תת-סדרה כך ש-

$\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0$

(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה $0$ סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

$\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}$

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות $c_{n_k}$ בין $x_{n_k},y_{n_k}$ כך ש-

$f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}$

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.