מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: .
לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב וב.
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש ו וערכים חיוביים כש
פתרון:
מתי הביטוי מתאפס: ? לפי נוסחה נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: , , , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב או
: מתאפס ב0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
פתרון:
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.
השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 לn, הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים . בתחום האחרון, , כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
n זוגי: אם x קטן מ1, כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה עבור i בין 1 לn-1. אם i זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור n זוגי היא:
עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
נחלק למקרים: אם נקבל את אי השוויון ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם
אם נקבל , לכן וסה"כ הפתרונות הם
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
פתרון:
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב לכן נתבונן במקרים:
: אי השוויון הוא לכן ו. התשובה היא
: אי השוויון הוא לכן לכן . התשובה היא . נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון:
נחלק למקרים:
: אי השוויון הוא . נפשט ונקבל . ביטוי זה חיובי עבור או (בדקו!). לכן הפתרון הוא
: אי השוויון הוא . נפשט ונקבל ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
נשים לב שלביטוי אין ערך ב. אם נקבל וזה לא יתכן. אם נקבל וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור או .
: נקבל אי שוויון . נפשט ונקבל והפתרון של זה הוא . סה"כ:
: נקבל אי שוויון ואחרי פישוט: . הפתרון הוא או לכן סה"כ: .
: נקבל . נפשט: והפתרון הוא . לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
הביטוי הריבועי מתאפס ב . נחלק למקרים:
: או לכן סה"כ
: . לכן סה"כ:
: . לכן סה"כ:
: . לכן סה"כ:
: או . לכן סה"כ:
פתרון: או
2
נגדיר שתי פונקציות
מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
נפריד למקרים:
: במקרה זה אי השוויון הוא והוא תמיד מתקיים
: אי השוויון הוא והוא מתקיים עבור לכן הפתרון הוא
: אי השוויון הוא לכן הפתרון הוא ולכן אין פתרון
פתרון:
נפריד למקרים:
: אי השוויון הוא וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל
: ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
: אי השוויון הוא וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון:
נשים לב שמתקיים: לכל x:
:
:
:
לכן גם מתקיים לכל x
: . הפתרון הוא
: לכן זה פיתרון.
: . נכון לכל x.
: . כל התחום הוא פתרון
: . גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון:
: . בגלל שאנחנו בתחום נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: . לאי שוויון זה אין פתרון בתחום
: נקבל ואין לזה פתרון בתחום
: נציב ונקבל שזה לא פתרון
: נקבל והפתרון הוא
: נקבל והפתרון הוא כל התחום
פתרון: או