אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־11:30, 3 בנובמבר 2016 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
תוכן עניינים
אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה כאשר פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב .
עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
מצב ראשון
ניתן למצוא קבוע כך ש- כך ש- .
אז רושמים
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני
- נפרק את לגורמים אי-פריקים:
- כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
- נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים .
- נחשב כל מחובר בנפרד:
אינטגרל מהצורה
נבצע הצבה על-מנת לקבל:
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי-פריק)
- נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל
- כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה
- נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי-פריק)
- דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה
- את החלק פותרים לפי הנוסחא לעיל
- לחלק הנותר נבצע הצבה לקבל אינטגרל פתיר מהצורה
מצב שלישי
- קיים קבוע כך שקיים פולינום המקיים וגם .
- נפריד את האינטגרל לשניים
- נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
מצב רביעי
- נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא כאשר מתקיים
- מתקיים
- נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
מצב חמישי
מבצעים את ההצבה
דוגמאות
דוגמא 1
בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה ולקבל
דוגמא 2
נפרק לשברים חלקיים
לכן