אורך עקומה

תהי $f$ פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור $[a,b]$. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:

$\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align}$

כאשר הנקודות $c_k$ מקיימות $\forall k:c_k\in(x_{k-1},x_k)$ . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה $\sqrt{1+f'(x)^2}$ . כיון שנתון כי $f'(x)$ רציפה, גם $\sqrt{1+f'(x)^2}$ רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

על כן סכומי רימאן אלה שואפים לאינטגרל $\displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$ וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.