פתרון אינפי 1, תש"נ
(המבחן )
שאלה 2
נגדיר פונקציה על-ידי . רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
ואילו ולכן לפי משפט ערך הביניים .
בנקודה זו מתקיים הדרוש - .
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקציה מוגדרת וגזירה פעמים בסביבה של . אז , כאשר .
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -
ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.
מתקיים ולכן השארית היא , כצפוי.
שאלה 4
הפונקציה בכל מחזור תעלה בדיוק ב- , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- בכל פעם של קטע בודד באורך שלה. (ראו הגרף)
נימוק פורמלי: .
גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
נגזור:
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf
שאלה 5
א) סדרה ממשית תקרא סדרת קושי אם("ם):
ב) ניקח את הסדרה שהאיבר ה- -י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- של (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי). היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל , אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.
ג) נשים לב שהטור
שאלה 6
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא ולכן האינטגרל הוא , ועם תנאי ההתחלה נקבל .
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של בתחום .
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3. ולכן ההעתק המקסימלי הוא .