סיווג נקודה חשודה

הגדרת נקודה חשודה

תהי $f$ פונקציה ממשית. נקודה $x$ בתחום ההגדרה של $f$ נקראת חשודה אם $f'(x)=0$ או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- $x$ .

סיווג נקודות חשודות

משפט: תהי $f$ פונקציה הגזירה ברציפות $n+1$ פעמים בסביבת הנקודה $a$ . עוד נניח כי

$\begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0\\f^{(n+1)}(a)\ne0\end{align}$

אזי:

• אם $n+1$ זוגי וגם $f^{(n+1)}(a)>0$ אזי $a$ נקודת מינימום מקומי.
• אם $n+1$ זוגי וגם $f^{(n+1)}(a)<0$ אזי $a$ נקודת מקסימום מקומי.
• אם $n+1$ אי-זוגי אזי $a$ נקודת פיתול.

הוכחה:

לפי טיילור לכל $x$ בסביבה קיימת נקודה $c$ בין $x$ לבין $a$ כך ש:

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

אבל לפי ההנחה כי $n$ הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- $a$ , מתקיים

$f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

לכן, אם $n+1$ זוגי וגם $f^{(n+1)}(a)>0$ לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת $a$ בה $f^{(n+1)}>0$ ולכן לכל $x$ בסביבה מתקיים:

$f(x)-f(a)\ge0$

שכן $(x-a)^{(n+1)}\ge0$ תמיד עבור $n+1$ זוגי.

כלומר אם $f^{(n+1)}(a)>0$ אזי $x$ הנה נקודת מינימום.

באופן דומה, אם $f^{(n+1)}(a)<0$ אזי $x$ הנה נקודת מקסימום.

אם $n+1$ אי-זוגי, אזי הסימן של $(x-a)^{(n+1)}$ חיובי בסביבה ימנית של $a$ ושלילי משמאלה.

כיון שסימן $f^{(n+1)}$ קבוע בסביבת $a$ , סה"כ מצד אחד $f(x)>f(a)$ ומהצד השני $f(x)<f(a)$ .

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- $a$ ולכן המשיק הוא $y=f(a)$ , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן $a$ הנה נקודת פיתול.