88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7

חזרה למערכי התרגול

אריתמטיקה של עוצמות

הגדרה יהיו A,B קבוצות אזי $A^B:=\{f:B\rightarrow A\}$.

תרגיל

יהיו A,B,C קבוצות כך ש $|A|\leq |B|$. הוכיחו כי $|A^C|\leq|B^C|$.

פתרון: נתון שקיימת $f:A\to B$ חח"ע. נגדיר $g:A^C\to B^C$ ע"י $h:C\to A\mapsto f\circ h$. מתקיים כי g חח"ע כי f חח"ע ויש לה הפיכה שמאלית.

הערה: $|A|< |B|$ לא גורר $|A^C|<|B^C|$.

תרגיל

הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A

הוכחה. יש התאמה חח"ע ועל $g:P(A)\to \{0,1\}^A$ ע"י $\forall B\subseteq A : g(B)=f_B=\chi_B$

לפי תרגיל קודם $|A|<|\{0,1\}^A|=|P(A)|$

הערה: (למי שלמד תורת הקבוצות) מסיבה זו אוסף העוצמות אינו קבוצה אלא מחלקה. שכן אם הוא היה קבוצה, הייתה לו עוצמה

תרגיל

יהיו A,B קבוצות כך ש $|B|>1$. הוכח כי $|A|<|B^A|$.

פתרון. נבחר 2 איברים שונים $b_0,b_1\in B$ ונגדיר פונקציה חח"ע $g:A\to B^A$ ע"י $g(a)=f_a$ כאשר $f_a(a)=b_1$ ו $\forall a'\not=a :f_a(a')=b_0$ ולכן $|A|\leq|B^A|$.

נניח בשלילה שקיים שיוויון אזי קיימת התאמה חח"ע ועל $g:A\to B^A$. נסמן $\forall a\in A:g(a)=f_a$.

נראה באופן דומה לתירגול קודם כי g איננה על ע"י שנמצא פונקציה f שאין לה מקור:

נבחר 2 איברים שונים $b_0,b_1\in B$ונגדיר פונקציה באופן הבא $f:A\rightarrow B$ ע"י $f(a)=b_0$ אם $f_a(a)=b_1$. ו- $f(a)=b_1$ אחרת. לפי הבנייה $\forall a\in A f\not=f_a$ כיוון ש $f(a)\not=f_a(a)$. סתירה לכך ש g על.

הערה: התרגיל הזה הוא מסקנה מהתרגילים הקודמים כי $|\{0,1\}|\leq |B|$ ולכן $|A|<|\{0,1\}^A|\leq |B^A|$

הגדרה: יהיו שתי קבוצות זרות A,B כך ש $|A|=a, |B|=b$. אזי נגדיר פעולות בין עוצמות:

• $a+b:=|A\cup B|$
• $a\cdot b := |A\times B|$
• $a^b := |\{f:B\rightarrow A\}|$

דוגמא: ראינו בתירגול קודם את הזיהוי $[0,1)=\{f:\mathbb{N} \to \{0,1,...9\}\}$ לכן $\aleph=|\mathbb{R}|=|[0,1)|=|\{f:\mathbb{N} \to \{0,1,...9\}\}|=10^{\aleph_0}$

הערות:

• ההגדרות לעיל מוגדרות היטב, כלומר העוצמה נשארת זהה ללא תלות בבחירת הקבוצות המייצגות.
• בידקו שעבור המקרה הסופי מתקיים מה שמצופה.

למשל $2+1=|\{1,2\}\cup\{3\}|=3$

• שימו לב: מתוך הגדרה זו קל לראות את חוקי החזקות למקרי הקצה:
  • $a^0=1$ שכן יש פונקציה יחידה מהקבוצה הריקה לכל מקום - היחס שהוא הקבוצה הריקה.
  • $0^0=1$ זה מקרה פרטי של הסעיף הקודם, ועדיין מתקיים
  • $1^a=1$
  • $a\neq 0 \rightarrow 0^a=0$ אין אף פונקציה מקבוצה לא ריקה אל קבוצה ריקה, שכן יחס כזה לא יכול להיות שלם.

תכונות האריתמטיקה

יהיו a,b,c עוצמות אזי מתקיים

• $ab=ba$
• $(ab)c=a(bc)$
• $a^ba^c=a^{b+c}$
• $a^cb^c=(ab)^c$
• $(a^b)^c=a^{bc}$

כלומר מתקיימים חוקי החזקות ה"רגילים"

נוכיח למשל $a^ba^c=a^{b+c}$ יהיו $|A|=a,|B|=b,|C|=c$ קבוצות זרות נגדיר פונקציה מ $A^{B\cup C} \to A^B\times A^C$ ע"י $f \mapsto (f|_B,f|_C)$. היא חח"ע ועל.

נוכיח למשל $(a^b)^c=a^{bc}$ יהיו $|A|=a,|B|=b,|C|=c$ קבוצות זרות נגדיר פונקציה מ $(A^B)^C \to A^{B\times C}$ ע"י $f \mapsto g(b,c)= f(c)(b)$. היא חח"ע ועל.

בנוסף אם מניחים את אקסיומת הבחירה אזי מתקיים עבור a,b עוצמות כאשר אחד מהם אין סופי

• $a+b=max\{a,b\}$
• אם שניהם אינם אפס אזי $a\cdot b=max\{a,b\}$
• מסקנה: אם $2\leq a \leq b$ אזי $a^b=2^b$

הוכחה $2^b\leq a^b\leq (2^a)^b=2^{ab}=2^b$

תרגיל

הוכח כי $\aleph_0+\aleph=\aleph$

הוכחה: דרך א- ישירות מהגדרה. נבחר $A=[\frac{1}{4},\frac{1}{2}],B=\mathbb{N}$ אזי $\aleph=|A|\leq |A\cup B |\leq |\mathbb {R}|=\aleph$

דרך ב- מהנוסחא. $\aleph_0+\aleph=max\{\aleph_0,\aleph\}=\aleph$

תרגיל

הוכח כי $\aleph \cdot \aleph=\aleph$

הוכחה: $\aleph=|\{f:\mathbb{N}\to \{ 0,1\dots 9 \} \}|=10^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$

דרך א- ישירות מהגדרה. נבחר $A=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\},B=A\times A$ אזי נגדיר פונקציה $A\to A\times A$ ע"י $f(n)\mapsto (f(2n),f(2n+1))$ . זו פונקציה חח" ועל.

דרך ב- אריתמטיקה- $\aleph \cdot \aleph=2^{\aleph_0}\cdot 2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0+\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph$

דרך ג- מהנוסחא- $\aleph \cdot \aleph=max\{\aleph,\aleph\}=\aleph$

תרגיל

הוכח כי $|\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}|=\aleph$

פתרון:

כיוון ש $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ מוכל בממשיים עוצמתה לכל היותר אלף. נניח בשלילה כי עוצמתה שווה a קטנה ממש מאלף אזי $\aleph=|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}|+|\mathbb{Q}|=a+\aleph_0=a<\aleph$. סתירה

תרגיל

תהא $A$ קבוצה אינסופית ו $B\subseteq A$ תת קבוצה.

הוכח/הפרך

1. $|A\backslash B|=|A|\Rightarrow |B|<|A|$

2. $|A\backslash B|=|A|\Leftarrow |B|<|A|$

פתרון:

1. הפרכה: ניקח את השלמים והטבעיים

2. נכון כי ניתן להציג A כאיחוד זר $A=A\backslash B \cup B$ ולכן $|A|=|A\backslash B| + |B|$. אם $|A\backslash B|<|A|$ נקבל סתירה

תרגיל

1. מה עוצמת $\mathbb{N}^\mathbb{N}$

פתרון: $\aleph_0^{\aleph_0} =2^\aleph_0$

2. מה עוצמת $X=\{f\in \mathbb{N}^\mathbb{N}:f(1)\leq f(2)\}$

פתרון: לכל היותר $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ ולכל הפחות $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ כי לכל $g\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}\setminus \{1,2\}}$ נתאים $f\in X$ ע"י $f(1)=f(2)=1$ ועבור $x\neq 1,2$ נגדיר $f(x)=g(x)$ ולכן $|\mathbb{N}^{\mathbb{N}\setminus \{1,2\}}|\leq|X|\leq |\mathbb{N}^\mathbb{N}|$ ולפי ק.ש.ב יש שיווון

3. מה עוצמת $X=\{f\in \mathbb{R}^\mathbb{R}:\forall x\notin \mathbb{Q} f(x)=1\}$

פתרון: X שווה עוצמה ל $\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}$ כי $g\in\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}$ ממופה ל $f\in X$ המוגדרת $f|_{\mathbb{Q}}=g,f|_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}=1$

תרגיל

תהי $\{A_i\}_{i\in I}$ משפחה של קבוצות הזרות זו לזו כך שעוצמת כל אחת מהן ב$a$. נגדיר $\sum_{i\in I} a = |\bigcup_{i\in I}A_i|$. הוכח כי $\sum_{i\in I} a = |I|\cdot a$

פתרון:

תהא $A$ קבוצה נוספת מעוצמה $a$. לכל $i\in I$ קיימת פונקציה חח"ע ועל $f_i:A\rightarrow A_i$. כעת נגדיר פונקציה $g:I\times a\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i$ ע"י $g(k,x)=f_k(x)$. מכיוון שהקבוצות זרות ו$f_k$ חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון ש$f_k$ על גם g על ולכן קיבלנו את המבוקש.

תרגיל

נגדיר $A$ להיות כלי קבוצות סופיות של הטבעיים. מה עוצמתה?

פתרון: נגדיר $A_i$ להיות תת הקבוצות מגדול $i$. אזי $|A_i|\leq \aleph_0^i=\aleph_0$ ואז $|A|=|\cup_{i=0}^{\infty}|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0$

תרגיל

נגדיר $A$ להיות כלי קבוצות האינסופיות של הטבעיים. מה עוצמתה?

פתרון: מתקיים כי $P(\mathbb{N}=A\cup A^c$ כאשר A היא תתי הקבוצות הסופיות מתרגיל קודם שעוצמת $\aleph_0$ ולכן $2^\aleph_0=\aleph_0+|A^c|=\max\{\aleph_0,|A^c|\}=|A^c|$

תרגיל

נגדיר $A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph_0 \}$ ,מה עוצמתה?

פתרון: לכל הפחות $2^{\aleph_0}$ כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר $F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to A$ המוגדרת $f\mapsto Imf$ היא על כי לכל $X\in A$ קיימת $f:\mathbb{N}\to X$ הפיכה, בפרט על והיא תשמש כמקור. לפי ק.ש.ב $|A|=2^{\aleph_0}$

תרגיל

נגדיר $A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph \}$ ,מה עוצמתה?

פתרון: לכל היותר $2^\aleph$ מצד שני $F:P((0,1))\to A$ המוגדרת $B\mapsto B\cup (1,2)$ חח"ע ולפי ק.ש.ב. סימנו

תרגיל ממבחן תשסח מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו)

תהי A קבוצה אינסופית. נסמן $a=|A|,\;B=P(A),\;F=A\times P(A),\; C=P(A)^A,\; H=B^B$

א. מצא את $|C|$

ב. מצא את $|F\times H|$

ג. מצא את $|\{R:|\mathbb{N}/R|=2\}|$ המוכלת באוסף יחסי השקילות על הטבעיים.

פתרון. א. $|C|=(2^a)^a=2^{aa}=2^a$

ב.$|F\times H|=|F||H|=a2^a(2^a)^{2^a}=2^{a2^a}=2^{2^a}$

ג. כל יחס שקילות שקבוצת המנה 2 מתאים לחלוקה של $\mathbb{N}$ ל-2 קבוצות זרות. ולכן יש התאמה חח"ע ועל $\{R:|\mathbb{N}/R|=2\} \leftrightarrow W=\{\{A,A^c\}|A\subseteq \mathbb{N}\}$ ולכן 2 הקבוצות מאותה עוצמה.

ט: $|W|=2^{\aleph_0}$

ה: נסמן $|W|=a$. בנוסף $\bigcup_{\{A,A^c\}\in W}\{A,A^c\}=P(\mathbb{N})$ ולכן $2^{\aleph_0}=|P(\mathbb{N})|=2a=a$.

תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)

יהי S יחס על $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ (קבוצת כל הפונקציות הממשיות), המוגדר על ידי $(f,g)\in S$ אם"ם לכל $x\in\mathbb{R}$ מתקיים $f(x)-g(x)\in\mathbb{Z}$

1. הוכיחו ש S הינו יחס שקילות

2. תהי $f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}$ מצאו את $|[f]|$

3. מצאו את $|\mathbb{R}^\mathbb{R}/S|$

פתרון:

1.

• רפלקסיביות: $\forall x\in\mathbb{R} f(x)-f(x)=0\in\mathbb{Z}$
• סימטריות: $f(x)-g(x)\in\mathbb{Z}$ גורר שגם $g(x)-f(x)\in\mathbb{Z}$ כי יש נגדי לחיבור
• טרנזיטיביות: נובעת בקלות מסגירות לחיבור בשלמים: $f-h=f-g+g-h$

2.

עבור $[f]\in \mathbb{R}^\mathbb{R}/S$ נגדיר $F:[f] \to \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}$. ע"י $F(g):=f-g$ נראה כי היא מוגדרת,חח"ע ועל.

מוגדרת: לפי ההגדרה של יחס השקילות אכן מתקיים $f-g\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}$

נראה כי ל F קיימת הופכית. נגדיר $G: \mathbb{Z}^{\mathbb{R}} \to [f]$. ע"י $G(h):=f-h$. הפונקציה מוגדרת היטב כי $f-(f-h)\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}$ וקל לוודא שזוהי ההופכית

חח"ע: נניח $F(g)=F(h)$ לכן $\forall x\in\mathbb{R} f(x)-g(x)=f(x)-h(x)$ ולכן h=g.

על: תהי h פונקציה כלשהי מהממשיים לשלמים, ברור ש(f-h) במחלקת השקילות של f והיא תהיה המקור.

אם כך, העוצמה של מחלקת השקילות זהה לעוצמה של אוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים והוא ${\aleph_0}^\aleph$. לפי התכונות שלמדנו לעיל מתקיים $2^\aleph\leq{\aleph_0}^\aleph\leq 2^\aleph$ ולכן לפי קנטור מתקיים ${\aleph_0}^\aleph=2^\aleph$

3.

נזכור בסימון $\lfloor x\rfloor$ שהוא המספר השלם הגדול ביותר הקטן או שווה לx.

נגדיר F פונקציה השולחת את $f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}$ לפונקציה $F(f):=f-\lfloor f\rfloor\in [0,1)^\mathbb{R}$. נראה ש-F מוגדרת היטב (על קבוצת המנה)וההפעלה שלה על קבוצת המנה תהיה חח"ע ועל.

מוגדרות: יהיו שתי פונקציות באותה מחלקת שקילות g,f. אזי, $F(g)-F(f)=g-\lfloor g\rfloor -f + \lfloor f\rfloor$. מכיוון שזהו הפרש של שני מספרים אי שליליים קטנים מאחד, זה שווה למספר שבערכו המוחלט קטן מאחד. מכיוון שההפרש בין f ל-g שלם, המספר הזה הוא שלם. המספר השלם האי שלילי היחיד שקטן מאחד הינו אפס כלומר $F(f)=F(g)$. לכן הפונקציה F מוגדרת היטב שכן היא שולחת נציגים שונים של מחלקת שקילות לאותו מקום.

חח"ע: נניח $F(f)=F(g)$ אז $f-g=\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor$ כיוון ש $\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor\in \mathbb{Z}^\mathbb{R}$ אזי הם נציגים של אותה מחלקת שקילות כלומר $[f]=[g]$

על: ניקח פונקציה כלשהי r מהממשיים לקטע $[0,1)$. קל לראות ש $F[r]=r$ שכן $\lfloor r \rfloor = 0$. לכן r ישמש מקור ולכן F הינה על.

סה"כ קיבלנו שעוצמת קבוצת המנה שווה ל$\aleph^\aleph$ וזה שווה ל$2^\aleph$ לפי התכונות לעיל.

תרגיל ממבחן תשע מועד ב (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)

א. תהי A קבוצה אינסופית מעוצמה a.

1. נגדיר עבור :

$X=\{(X_1,...,X_n):1<n\in\mathbb{N}\and\Big[\bigcup_i X_i=A\Big] \and \Big[\forall i\neq j: X_i\cap X_j = \emptyset\Big] \and \big[ \forall i X_i \neq \emptyset\big]\}$.

כלומר אוסף החלקות הסופיות הלא טרי' הסדורות של A הוכח $|X|=2^a$

2. מצא את $|\mathbb{N}\times X|,|\mathbb{N}\cup X|$ וגם את $|X|^{|\mathbb{N}|},|\mathbb{N}|^{|X|}$

ב.תהי $\{A_i\}_{i\in I}$ משפחה של קבוצות הזרות זו לזו. נסמן את עוצמת כל אחת מהן ב$a_i$ בהתאמה. נגדיר $\sum_{i\in I} a_i = |\bigcup_{i\in I}A_i|$.

חשב את $\sum_{n\in\mathbb{N}}\aleph$

פתרון.

א.

1.

נביט באוסף הפונקציות $Y=\{f:A\rightarrow\mathbb{N}\}$. נגדיר $g:X\to Y$ על ידי לכל $x=(X_1,...,X_n)\in X$

נשלח אותו ל $g(x)=f_x$ המוגדר $\forall a\in A :\; f_x(a)=k$ כאשר $a\in X_k$ כלומר שולחת איבר לאינדקס של הקבוצה שהוא נמצא בה בחלוקה.

נוכיח שהפונקציה מוגדרת וחח"ע.

מוגדרת: כיוון ש x הוא חלוקה של A אזי האיבר a יופיע ויופיע בדיוק באחת מהקבוצות.

חח"ע: נניח $(X_1,...,X_n)=x\neq x'=(X'_1,...,X'_m)$. אזי קיים $X_i\not=X'_i$, לכן קיים יהיה $a\in X_i/X'_i$ (או להיפך) ואז $i=f_x(a)\not= f_{x'}(a)$ כלומר $g(x)\not=g(x')$

דרך 2- נגדיר פונקציה $g:X\to P(A)^{\mathbb{N}}$ ע"י $g((X_1,...,X_n))(i) = \begin{cases}X_i & \text{if } 1\leq i \leq n \\ \emptyset & \text{if } n<i \end{cases}$

קל לראות כי הפונקציה חח"ע ולכן $|X| =(\leq 2^{|A|})^{\aleph_0} = \leq 2^{|A|\cdot \aleph_0} =2^{|A|}$

דרך 3- נציג את X כאיחוד זר $X=\cup_{1<n\in \mathbb {N}}Y_n$ כאשר $Y_n$ זה חלוקות סדורות של A עם n קבוצות. כעת לכל n קיימת פונקציה $g:Y_n \to P(A)^n$ המוגדרת $g((X_1,...,X_n))=X_1 \times \cdots \times X_n$ קל לראות שהיא חח"ע ולכן $|Y_n|=|A|^n =|A|$ ולכן $|X|\leq \sum_{1<n\in \mathbb {N}}|A|=|A|\cdot \aleph_0 =|A|$

כעת, קל למצוא פונקציה חח"ע מקבוצת החזקה של A ל-X - נשלח כל תת קבוצה לזוג שמכיל אותה ואת המשלים שלה.

לכן $2^{|A|} \leq |X| \leq |Y| = \aleph_0^{|A|}$, ולפי התכונות לעיל שני הקצוות שווים. לכן עוצמת X הינה $2^a$.

2.

$|\mathbb{N}\cup X|=\aleph_0+2^a=2^a$

$|\mathbb{N}\times X|=\aleph_0\cdot 2^a=2^a$

$|X|^{|\mathbb{N}|}=(2^a)^{\aleph_0}=2^{a\cdot \aleph_0}=2^a$

$|\mathbb{N}|^{|X|}=(\aleph_0)^{2^a}=2^{2^a}$

ב.

בעצם אנו רוצים לחשב איחוד בן מנייה של קבוצות מעוצמת $\aleph$. לכל עותק של $\aleph$ נתאים $A_n$ ופונקציה חח"ע ועל $f_n:\mathbb{R}\rightarrow A_n$. כעת נגדיר פונקציה $g:\mathbb{N}\times\mathbb{R}\rightarrow\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ ע"י $g(k,x)=f_k(x)$. מכיוון שהקבוצות זרות ו$f_k$ חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון ש$f_k$ על גם g על ולכן סה"כ עוצמת הסכום הינה $\aleph_0\cdot\aleph=\aleph$