מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר

הרצאה 1 הקדמה

• משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
• בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה $f'(x)=0$. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
• לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
• כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.

• נפילה חופשית.
  • גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה $g=9.82$.
  • נסמן ב$y(t)$ את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
  • $v(t)=y'(t)$ היא המהירות
  • $a(t)=v'(t)=y''(t)$ היא התאוצה.
  • לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה $a(t)=g$, הרי התאוצה קבועה.
  • $y''(t)=g$
  • לכן $y'(t)=gt+c_1$
  • לכן $y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2$
• כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
  • נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן $y(0)=0$ ולכן $c_2=0$
  • נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן $y'(0)=0$ ולכן גם $c_2=0$.

• ריבית דריבית.
• נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה $y(t)$.
• נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי $y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)$.
• אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
  • בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית $y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0)$
  • ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל $y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2})$
  • סה"כ $y(1)=(1.01)^2\cdot y(0)$
• זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
• האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
• כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
  • $y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1)$
  • נעביר אגף ונחלק $\frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1)$
• אם נשאיף $t_2\to t_1$ נקבל כי $y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)$
• כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית $y'=r\cdot y$ כאשר $r$ היא הריבית השנתית.