מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר

תוכן עניינים

1 הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
2 הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
3 הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות
- 3.1 הקדמה - פונקציות בשני משתנים
- 3.2 מד"ר מדוייקת

הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה

משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה $f'(x)=0$ . האם זו משוואה דיפרנציאלית?
לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.

נפילה חופשית

גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה $g=9.82$ .
נסמן ב $y(t)$ את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
$v(t)=y'(t)$ היא המהירות
$a(t)=v'(t)=y''(t)$ היא התאוצה.
לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה $a(t)=g$ , הרי התאוצה קבועה.

$y''(t)=g$
לכן $y'(t)=gt+c_1$
לכן $y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2$

כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן $y(0)=0$ ולכן $c_2=0$
נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן $y'(0)=0$ ולכן גם $c_2=0$ .

ריבית דריבית

נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה $y(t)$ .
נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי $y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)$ .
אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית $y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0)$
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל $y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2})$
- סה"כ $y(1)=(1.01)^2\cdot y(0)$
זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- $y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1)$
- נעביר אגף ונחלק $\frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1)$
אם נשאיף $t_2\to t_1$ נקבל כי $y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)$
כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית $y'=r\cdot y$ כאשר $r$ היא הריבית השנתית.

המשוואה $y'=r\cdot y$

בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
כעת נשים לב כי:
$y'-ry=0$
$e^{-rt}(y'-ry)=0$
$(e^{-rt}y)'=0$
כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה $e^{-rt}y=C$
סה"כ $y=Ce^{rt}$

על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.

סדר ומעלה

משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה $y''=g$ היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה $y'=ry$ היא משוואה מסדר ראשון.
משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
- המשוואה $(y''')^2+(y')^5=y+sin(t)$ היא מסדר 3 ומעלה 2.

משוואות פרידות

משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה $y'=f(y)g(x)$ .
נהוג גם להחליף $y'=\frac{dy}{dx}$ ולכן המשוואה תרשם כך $dy=f(y)g(x)dx$ .
לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה $f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0$ , כלומר $y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)}$ .

משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
$f(y)y'=g(x)$
הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
$\int f(y)y'dx=\{t=y(x),dt=y'dx\}=\int f(t)dt$
במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים $f(y)dy=g(x)dx$ , כל אחד לפי המשתנה שלו!

לדוגמא נפתור את המשוואה $y'=r\cdot y$ כמשוואה פרידה.
ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי $\frac{1}{y}dy=rdx$ .
נשים לב כי הנחנו כאן כי $y=\neq 0$ .
כעת $\int \frac{1}{y}dy=ln|y|$ .
$\int rdx=rx$ .
וביחד $ln|y|=rx+C$ .
לכן $|y|=e^{rx+C}=e^C\cdot e^{rx}$ .
לכן $y=\pm e^C\cdot e^{rx}$ .
כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) $y=Ce^{rx}$ .

שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.

הפיכת משוואה לפרידה

נביט במשוואה $y'=(x+y)^2$ שאינה משוואה פרידה.
נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
נגדיר את הפונקציה $z=x+y$ .
מתקיים כי $z'=1+y'$ וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה $z'-1=z^2$ .
זוהי משוואה פרידה $\frac{1}{1+z^2}dz=dx$ .
נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי $\arctan(z)=x+C$
ולכן $z=\tan(x+C)$
ולכן $x+y=\tan(x+C)$
$y=\tan(x+C)-x$

שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו $x+C$ מחוץ לתחום $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ .
שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.

הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי

מד"ר הומוגנית

פונקציה $f(x,y)$ נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל $\lambda\neq 0$ מתקיים כי $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)$ .
לדוגמא $f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y}$ הומוגנית מסדר 1.

טענה: פונקציה $f(x,y)$ היא מהצורה $\varphi(\frac{y}{x})$ לכל $x\neq 0$ אם"ם היא הומוגנית מסדר $0$ לכל $x\neq 0$ .
הוכחה:
- אם $f(x,y)=\varphi(\frac{y}{x})$ אזי לכל $x\neq 0$ מתקיים $f(\lambda x,\lambda y)=\varphi(\frac{\lambda y}{\lambda x})=\varphi(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y)$ .
- אם $f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$ , נציב $\lambda=\frac{1}{x}$ ונקבל כי $f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=\varphi(\frac{y}{x})$ .

מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה $y'=f(x,y)$ כאשר $f(x,y)$ הומוגנית מסדר $0$ .
נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה באופן הבא:
- ראשית נסמן $y'=\varphi(\frac{y}{x})$ .
- כעת נגזור את שני צידי המשוואה $zx=y$ , ונקבל כי $z'x+z=y'$ .
- לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה $z'x+z=\varphi(z)$ .
- נפריד את המשתנים $\frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\frac{1}{x}dx$ .
- ולכן $\int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\ln|x|+C$ .
- נמצא את $z$ ונציב בחזרה $y=zx$ .

דוגמא - נפתור את המשוואה
- $\varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}}$
- $\int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\frac{1+z^2}{z}-z}dz=\int z dz=\frac{z^2}{2}$
- $\frac{z^2}{2}=ln|x|+C$
- $z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}$
- ולבסוף $y=\pm x\sqrt{ln(x^2)+C}$

דוגמא - נפתור את המשוואה
- $y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x}$
- $\varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}$
- $\int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z)$
- $\tan(z)=\ln|x|+c$
- $z=\arctan(ln|x|+C)$
- $y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)$

מד"ר לינארית מסדר ראשון

הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה $y'+p(x)\cdot y=q(x)$ .
מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה $y'+p(x)\cdot y=0$ .
נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.

נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית $y'+p(x)\cdot y=0$ היא פרידה.
נפריד את המשתנים ונקבל $\frac{1}{y}dy=-p(x)dx$ .
נבצע אינטגרציה ונקבל כי $ln|y|=-\int p(x)dx +C$ .
ולכן $y=C\cdot e^{-\int p(x)dx}$

כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
נציב במקום המקדם הקבוע $C$ פונקציה $C(x)$ , וננחש שזה פתרון של המד"ר.
כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה $C(x)$ כך שהמשוואה תתקיים.

כלומר, נציב $y=C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}$ במשוואה $y'+p(x)y=q(x)$ .
נקבל $C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}-p(x)\cdot C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx} + p(x)\cdot C(x) \cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x)$
משוואה זו מתקיימת אם"ם $C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x)$ .
כלומר $C'(x)=q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}$ .
לכן נבחר $C(x)=\int \left[q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right]dx+C$

סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית $y'+p(x)\cdot y=q(x)$ הוא:

 $e^{-\int p(x)dx}\cdot\left(\int\left(q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right)+C\right)$

דוגמא - המשוואה החביבה עלינו :
- ראשית, נשים לב כי $p(x)=-r$ ו $q(x)=0$ .
- כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא $y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx}$

נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר

גוף בעל מסה $m$ נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע $m\cdot g$ ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע $b\cdot v^2$ , ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה $bv$ .

במהירות גבוהה

לפי החוק השני של ניוטון $m\cdot a = gm -b\cdot v^2$ .
כלומר $v'=g-\frac{b}{m}v^2$
נבצע הפרדת משתנים $\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=dt$
נבצע פירוק לשברים חלקיים:
$\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}=\frac{1}{(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)}=\frac{1}{2\sqrt{g}}\left(\frac{1}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}+\frac{1}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right)$
ולכן $\int \frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{g\cdot m}}\ln\left|\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right|$
מצד שני $\int dt=t+c$
לכן $\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}=Ce^{2\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}t}$
נסדר קצת $v=\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{Ce^{2\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}t}}\right)$
נשים לב שכאשר $t\to\infty$ אנו מתכנסים למהירות הסופית $\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}$ .
אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.

במהירות נמוכה

לפי החוק השני של ניוטון $m\cdot a = gm -b\cdot v$ .
כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית $v'+\frac{b}{m}v=g$ .
ולכן הפתרון הוא $v=e^{-\frac{b}{m}t}\cdot\left(\int ge^{\frac{b}{m}t}dt+C\right)=\frac{g\cdot m}{b}+Ce^{-\frac{b}{m}t}$ .
וכאשר $t\to\infty$ המהירות שואפת למהירות הסופית $\frac{g\cdot m}{b}$ .

משוואת ברנולי

משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה $y'+p(x)\cdot y = q(x)\cdot y^n$ עבור $n\neq 0,1$ .
נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
נניח כי $y\neq 0$ , ונחלק ב $y^n$ .
נקבל את המשוואה $\frac{y'}{y^n}+p(x)\cdot y^{1-n}=q(x)$ .
נציב $z=y^{1-n}$ .
נגזור $z'=(1-n)\frac{y'}{y^n}$ .
נקבל משוואה לינארית $\frac{z'}{1-n}+p(x)\cdot z = q(x)$ .
נפתור עבור $z$ ונציב חזרה לקבל $y=z^{\frac{1}{1-n}}$ .

דוגמא - נפתור את המשוואה .
- נציב $z=\frac{1}{y}$ .
- נקבל $-z'-2xz=2x^3$ ולכן $z'+2xz=-2x^3$ .
- לכן $z=e^{-x^2}\cdot\left(\int \left(-2x^3e^{x^2}\right)dx+C\right)$
- לכן $z=e^{-x^2}\cdot\left(e^{x^2}(1-x^2)+C\right)$
- לכן $z=1-x^2+Ce^{-x^2}$
- ולבסוף $y=\frac{1}{1-x^2+Ce^{-x^2}}$

דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
- נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
- $F=-bv-dv^2$ ולכן $v'=-bv-dv^2$ (לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
- זוהי משוואת ברנולי, נציב $z=\frac{1}{v}$ .
- לכן $z'-bz=d$
- נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
  - $z=e^{bt}\cdot (de^{-bt}+C)=d+Ce^{bt}$
- ולכן $v=\frac{1}{d+Ce^{bt}}$
- כמובן שכאשר $t\to\infty$ המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.

הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות

הקדמה - פונקציות בשני משתנים

נגזרות חלקיות
- דוגמא עבור $f(x,y)=x^2+xy$ מתקיים $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y$ ו $f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=x$
עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי $f_{xy}=f_{yx}$ (כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
כלל השרשרת: אם $g(t)=f(x(t),y(t))$ אזי $g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'(t)$
בפרט, עבור $g(x)=f(x,y(x))$ מתקיים $g'(x)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'$

מד"ר מדוייקת

מד"ר נקראת מדוייקת אם היא מהצורה $U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0$ , עבור $U(x,y)$ דיפרנציאבילית.
פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה $U(x,u)=C$ , כאשר C קבוע כלשהו.
מד"ר מהצורה $Pdx+Qdy=0$ היא מדוייקת אם"ם $P_y=Q_x$ ו $P,Q$ בעלות נגזרות רציפות.

הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
- נגזור את הפונקציה $g(x)=U(x,y(x))$ לפי המשתנה $x$ באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי $g'(x)=U_x(x,y)+U_y(x,y)y'$
- לפי הנתון $U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0$ נובע כי $g'(x)=0$ ולכן $g(x)=U(x,y)=C$ פונקציה קבועה.

הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
- כיוון ראשון, נניח מדוייקת.
  - לכן קיימת $U(x,y)$ דיפרנציאבילית כך ש $P=U_x,Q=U_y$ .
  - לכן $P_y=U_{xy}=U_{yx}=Q_x$ .
- כיוון שני, נניח כי .
  - אנו מחפשים $U(x,y)$ עבורה $P=U_x$ .
  - נעשה אינטגרציה לפי $x$ ונקבל כי $U(x,y)=\int P(x,y)dx + c(y)$ .
  - לכן ברור כי $U_x=P$ , השאלה היא אם ניתן לבחור $c(y)$ עבורו $U_y=Q$ .
  - כלומר אנו רוצים $c'(y)=Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx$
  - משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
  - אכן $\frac{\partial}{\partial x}\left(Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx\right)=Q_x-P_y=0$ .