מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
- 1 מבחנים לדוגמא
- 2 הרצאות
- 2.1 הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- 2.2 הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
- 2.3 הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות
- 2.4 הרצאה 4 הוכחת משפט הקיום והיחידות
- 2.5 הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה
- 2.6 הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים
- 2.7 הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית
- 2.8 הרצאה 8 פתרון מד"ר באמצעות טורי טיילור
- 2.9 הרצאה 9 מערכות מד"ר
- 2.10 הרצאה 10 התמרת לפלס
- 2.11 הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס
- 2.12 הרצאה 12 - הדלתא של דירק
- 2.13 הרצאה 13 - משוואת אוילר
מבחנים לדוגמא
- מבחן לדוגמא 1
- מבחן לדוגמא 2
- מבחן מועד א' תשע"ח
- מבחן מועד ב' תשע"ח
- מבחן מועד א' תשע"ט
- מבחן מועד ב' תשע"ט
הרצאות
הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה . האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה .
- נסמן ב את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
- היא המהירות
- היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה , הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן ולכן גם .
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה .
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי .
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית כאשר היא הריבית השנתית.
המשוואה
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
- שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.
סדר ומעלה
- משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה היא משוואה מסדר ראשון.
- משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
- המשוואה היא מסדר 3 ומעלה 2.
משוואות פרידות
- משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה .
- נהוג גם להחליף ולכן המשוואה תרשם כך .
- לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה , כלומר .
- משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
- ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
- הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
- במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים , כל אחד לפי המשתנה שלו!
- לדוגמא נפתור את המשוואה כמשוואה פרידה.
- ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי .
- נשים לב כי הנחנו כאן כי .
- כעת .
- .
- וביחד .
- לכן .
- לכן .
- כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
- בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) .
- שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
- בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
- בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.
הפיכת משוואה לפרידה
- נביט במשוואה שאינה משוואה פרידה.
- נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
- נגדיר את הפונקציה .
- מתקיים כי וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה .
- זוהי משוואה פרידה .
- נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי
- ולכן
- ולכן
- שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו מחוץ לתחום .
- שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
- על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
- אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.
הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
מד"ר הומוגנית
- פונקציה נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל מתקיים כי .
- לדוגמא הומוגנית מסדר 1.
- טענה: פונקציה היא מהצורה לכל אם"ם היא הומוגנית מסדר לכל .
- הוכחה:
- אם אזי לכל מתקיים .
- אם , נציב ונקבל כי .
- מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה כאשר הומוגנית מסדר .
- נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה באופן הבא:
- ראשית נסמן .
- כעת נגזור את שני צידי המשוואה , ונקבל כי .
- לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה .
- נפריד את המשתנים .
- ולכן .
- נמצא את ונציב בחזרה .
- דוגמא - נפתור את המשוואה
- ולבסוף
- דוגמא - נפתור את המשוואה
מד"ר לינארית מסדר ראשון
- הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה .
- מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה .
- נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.
- נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית היא פרידה.
- נפריד את המשתנים ונקבל .
- נבצע אינטגרציה ונקבל כי .
- ולכן
- כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
- נציב במקום המקדם הקבוע פונקציה , וננחש שזה פתרון של המד"ר.
- כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה כך שהמשוואה תתקיים.
- כלומר, נציב במשוואה .
- נקבל
- משוואה זו מתקיימת אם"ם .
- כלומר .
- לכן נבחר
- סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית הוא:
- דוגמא - המשוואה החביבה עלינו :
- ראשית, נשים לב כי ו.
- כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא
נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר
- גוף בעל מסה נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
- במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע , ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה .
במהירות גבוהה
- לפי החוק השני של ניוטון .
- כלומר
- נבצע הפרדת משתנים
- נבצע פירוק לשברים חלקיים:
- ולכן
- מצד שני
- לכן
- נסדר קצת
- נשים לב שכאשר אנו מתכנסים למהירות הסופית .
- אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.
במהירות נמוכה
- לפי החוק השני של ניוטון .
- כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית .
- ולכן הפתרון הוא .
- וכאשר המהירות שואפת למהירות הסופית .
משוואת ברנולי
- משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה עבור .
- נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
- נניח כי , ונחלק ב.
- נקבל את המשוואה .
- נציב .
- נגזור .
- נקבל משוואה לינארית .
- נפתור עבור ונציב חזרה לקבל .
- דוגמא - נפתור את המשוואה .
- נציב .
- נקבל ולכן .
- לכן
- לכן
- לכן
- ולבסוף
- דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
- נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
- ולכן (לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
- זוהי משוואת ברנולי, נציב .
- לכן
- נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
- ולכן
- כמובן שכאשר המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.
הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות
הקדמה - פונקציות בשני משתנים
- נגזרות חלקיות
- דוגמא עבור מתקיים ו
- עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי (כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
- כלל השרשרת: אם אזי
- בפרט, עבור מתקיים
מד"ר מדוייקת
- מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה , עבור דיפרנציאבילית.
- פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה , כאשר C קבוע כלשהו.
- תהי מד"ר מהצורה כאשר בעלות נגזרות רציפות. אזי המד"ר מדוייקת אם"ם
- הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
- נגזור את הפונקציה לפי המשתנה באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי
- לפי הנתון נובע כי ולכן פונקציה קבועה.
- הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
- כיוון ראשון, נניח מדוייקת.
- לכן קיימת דיפרנציאבילית כך ש .
- לכן .
- כיוון שני, נניח כי .
- אנו מחפשים עבורה .
- נעשה אינטגרציה לפי ונקבל כי .
- לכן ברור כי , השאלה היא אם ניתן לבחור עבורו .
- כלומר אנו רוצים
- משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
- אכן .
- כיוון ראשון, נניח מדוייקת.
- דוגמא: נפתור את המשוואה .
- ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: .
- נבצע אינטגרציה .
- נגזור לפי y ונקבל כי .
- לכן .
- לכן וסה"כ .
- לכן הפתרון למד"ר הוא .
גורם אינטגרציה
- לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה גורם אינטגרציה) וכך נהפוך אותה למדוייקת.
- באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד.
- תהי מד"ר , ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה התלוי בx בלבד.
- כלומר מדוייקת.
- לכן .
- כלומר .
- לכן .
- ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד.
- במקרה זה, פתרון יהיה
- דוגמא - המשוואה .
- המשוואה הינה .
- מתקיים כי תלוי בx בלבד.
- לכן יש גורם אינטגרציה
- נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה.
- .
- כעת .
- .
- לכן ואפשר לבחור .
- סה"כ .
- (כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)
- דוגמא - המשוואה .
- .
- אכן המשוואה מדוייקת.
- נבדוק: .
- נפתור את המד"ר:
- .
- .
- .
- .
- סה"כ הפתרון למד"ר הוא .
משפט הקיום והיחידות
בעיית קושי
- מציאת פתרון למד"ר המקיימת
שיטת פיקרד
- נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את משפט הקיום והיחידות.
- נגדיר , ולכל נגדיר .
- מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר.
- דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית) .
- נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל
- אם נתון תנאי ההתחלה נקבל בדיוק את הפתרון .
ניסוח משפט הקיום והיחידות
- תהי רציפה ובעלת נגזרת רציפה במלבן הסגור .
- נביט בבעיית הקושי , עם תנאי ההתחלה
- נבחר חסם כך ש במלבן הנתון, ונסמן .
- אזי קיים פתרון יחיד לבעיית הקושי בתחום .
- הערות:
- שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם.
- אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים ().
- לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
- שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
- מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.
הרצאה 4 הוכחת משפט הקיום והיחידות
המשוואה האינטגרלית
- בעיית הקושי עם שקולה למשוואה .
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
- אזי .
- לכן .
- ולפי תנאי ההתחלה נקבל כי .
- בכיוון שני, נניח כי המשוואה האינטגרלית נתונה.
- נגזור את שני הצדדים ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית (נגזרת של פונקצית שטח של פונקציה רציפה).
- נציב במשוואה האינטגרלית את ונקבל .
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
הוכחה
- נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון יחיד לבעיית הקושי.
- ראשית נשים לב לתכונה הבאה:
- כיוון ש רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
- לפי משפט לגראנז' נקבל כי
- נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של .
- ראשית כמובן בתוך המלבן.
- כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי .
- לכן .
- הערה: בהוכחות הבאות נוכיח עבור ההוכחות עבור דומות.
- כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש):
- ראשית, נשים לב כי .
- לכן עלינו להוכיח כי הטור מתכנס כאשר .
- ראשית,
- כעת
- נמשיך כך ונקבל כי
- זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, ולפי מבחן הM של קושי, הטור המקורי מתכנס במידה שווה.
- הערה: כיוון ש אזי גם הסדרה מתכנסת במ"ש באופן דומה.
- נוכיח שפונקצית הגבול היא פתרון של בעיית הקושי.
- נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף .
- נקבל כי .
- הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש.
- טענת עזר - תהי חסומה כך שלכל בקטע מתקיים כי אזי לכל בקטע.
- .
- .
- .
- נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי .
- לכן .
- לכן .
- יהיו שני פתרונות לבעיית הקושי, נוכיח כי :
- .
- לכן לפי טענת העזר, .
הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה
- נחקור כעת משוואות מהצורה
- דוגמא:
- נביט במסה המחוברת לקפיץ עם קבוע k, על משטח ללא חיכוך.
- נסמן את המרחק של המסה מהמצב הרפוי של הקפיץ בX.
- הכוח הפועל על המסה הוא .
- לכן לפי החוק השני של ניוטון .
הורדת סדר המשוואה
מד"ר מסדר גבוה ללא y
- אם y אינו מופיע במשוואה פשוט נחליף משתנה .
- דוגמא:
- משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני .
- נביט בפונקצית המהירות ונקבל את המשוואה מסדר ראשון.
מד"ר מסדר גבוה ללא x
- אם x אינו מופיע במשוואה נחפש פונקציה של y כך שיתקיים .
- דוגמא:
- נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t).
- נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה .
- נחפש פונקציה p של y המקיימת .
- לכן .
- לכן אנחנו רוצים למצוא p פונקציה של y המקיימת את המשוואה .
- זו משוואה פרידה ולכן .
- לכן .
- לכן קיבלנו את המד"ר הפרידה .
- .
- .
- .
- שימו לב שהביטוי מייצג קבוע חיובי כלשהו.
- שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון.
- שימו לב שישנם שני קבועים בפתרון. זה הגיוני, כי אנו צריכים שני תנאי התחלה - מיקום המסה, והמהירות שלה.
מד"ר לינארית
- מד"ר לינארית היא מד"ר מהצורה .
- אם אזי המד"ר נקראת הומוגנית.
- בעיית הקושי למד"ר הלינארית היא המשוואה יחד עם תנאי ההתחלה
- משפט קיום ויחידות: אם רציפות בקטע ויהי , אזי קיים פתרון יחיד בקטע לבעיית הקושי.
מד"ר לינארית הומוגנית
- אוסף הפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית הוא תת מרחב וקטורי.
- פונקצית האפס מקיימת את המשוואה.
- אם פתרונות, ו קבוע אזי קל לראות על ידי הצבה ישירה שגם הוא פתרון.
- תזכורת: נקראת תלויות לינארית אם קיימים קבועים לא כולם אפס כך ש (הצירוף הוא פונקצית האפס).
- הגדרה: הוורונסיקאן של הפונקציות הוא הדטרמיננטה
- אם ת"ל אזי .
- נתון כי
- נגזור
- נמשיך ולגזור ונקבל שלכל מתקיים כי .
- לכן
- כיוון שלמטריצה יש פתרון לא טריוואלי (ללא תלות בx) היא אינה הפיכה והדטרמיננטה שלה היא אפס.
- אם עבור כלשהו עבור פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית, אזי הפתרונות ת"ל ו.
- כיוון ש קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת כך שלכל מתקיים כי .
- נביט בפונקציה , לפי לינאריות גם פתרון של המד"ר.
- כיוון שלכל מתקיים כי ולפי יחידות הפתרון, נובע כי (הרי פונקצית האפס היא פתרון שמקיים את אותם תנאיי ההתחלה).
- הערה: ייתכנו פונקציות בת"ל שהוורונסיקאן שלהן מתאפס, אם הן לא פתרונות לאותו מד"ר לינארית. למשל .
- דוגמא:
- נביט בוורונסקיאן של .
- זו מטריצת ונדרמונד ולכן
- לכן הפונקציות בת"ל אם ורק אם כל הקבועים שונים זה מזה
- הוכחה לחישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונד:
- נבצע את פעולות השורהעיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): R_n-\lambda_1 R_{n-1}\\R_{n-1}-\lambda_1 R_{n-2}\\\vdots\\R_2-\lambda_1 R_1
- כאשר המעבר הוא חישוב דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה
- ומכאן סיימנו באינדוקציה
- מרחב הפתרונות של המד"ר הלינארית ההומוגנית הוא ממימד n.
- לכל נגדיר את להיות הפתרון המקיים את תנאי ההתחלה ואם אז .
- נוכיח שn פתרונות אלה מהווים בסיס.
- ולכן הפתרונות בת"ל.
- עבור תנאי ההתחלה פתרון המקיים תנאיי התחלה אלו הוא , ולכן הקבוצה פורשת.
- דוגמא: משוואת המסה על קפיץ
- נביט בפתרונות , הן אכן פותרות את המשוואה.
- נביט בוורונסקיאן
- לכן אלו שני פתרונות בת"ל שפורשים את כל מרחב הפתרונות, ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה
מד"ר לינארית לא הומוגנית
- פתרון כללי למד"ר הלינארית שווה לפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית ועוד פתרון פרטי למד"ר הלא הומוגנית
- הוכחה זהה לטיעון לגבי מערכות משוואות לינאריות.
- דוגמא: מסה התלוייה על קפיץ אנכי, עם השפעת כוח המשיכה. גובה אפס הוא הנקודה בה הקפיץ רפוי, הכיוון החיובי הוא למטה.
- נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
- נחפש פתרון מהצורה .
- נציב ונקבל .
- לכן פתרון כללי למד"ר הוא .
- דוגמא: מסה על קפיץ עם כוח חיצוני שתלוי בזמן.
- נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
- נחפש פתרון מהצורה .
- .
- .
- משוואה זו תתקיים עבור .
- לכן פתרון כללי למד"ר הוא .
הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים
פולינום אופייני
- נביט במד"ר הלינארית ההומוגנית עם מקדמים קבועים כאשר .
- דוגמאות:
- משוואת הקפיץ .
- .
- ננחש פתרון למד"ר מהצורה .
- נציב במד"ר ונקבל .
- לכן .
- נגדיר את הפולינום האופייני של המד"ר להיות .
- לכל שורש של הפולינום האופייני, קיבלנו פתרון למד"ר.
- דוגמא:
- נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
- לכן השורשים של הפולינום האופייני הם .
- לכן שני פתרונות למד"ר הם .
- ראינו שהם בת"ל בעזרת הורונסקיאן ולכן הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית הוא .
- נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
- מה קורה כאשר חסרים שורשים (מרוכבים)?
- מה קורה כאשר שורש חוזר על עצמו?
- הפולינום האופייני של המד"ר הוא .
- הפולינום האופייני של המד"ר הוא .
- כאשר השורש הוא מרוכב, נעזר באנליזה מרוכבת:
- ראשית, אם שורש של פולינום ממשי גם הצמוד שלו הוא שורש של הפולינום.
- נזכר גם כי
- כעת, נניח שיש זוג שורשים מרוכבים לכן הן פתרונות.
- לכן גם צירוף לינארי שלהם הוא פתרון:
- עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל!
- דוגמא משוואת הקפיץ .
- הפולינום האופייני הינו .
- שורשי הפולינום האופייני הינם .
- הפתרונות למד"ר ההומוגנית הם .
- כעת נטפל במקרה בו שורש חוזר על עצמו:
- ראשית, נביט באופרטור הלינארי ששולח פונקציה לנגזרת שלה, ונסמן ב את אופרטור הזהות.
- למשל המד"ר ניתנת להצגה כ.
- לכן .
- הפולינום האופייני של המד"ר הוא ולכן הוא פתרון.
- כעת, נראה כי גם הוא פתרון של המד"ר.
- באופן דומה אפשר להוכיח שאם ריבוי השורש הוא אזי לכל הביטוי הוא פתרון.
סיכום מציאת פתרון כללי למד"ר הומוגנית עם מקדמים קבועים
- מוצאים את הפולינום האופייני, ואת כל השורשים שלו (כולל המרוכבים).
- לכל שורש ממשי מריבוי מתאימים הפתרונות .
- לכל שורש מרוכב מריבוי (ידוע שגם הצמוד שלו שורש מאותו ריבוי) מתאימים הפתרונות
- סה"כ מצאנו למד"ר מסדר n בדיוק n פתרונות.
- הפתרונות הללו בת"ל ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי שלהם.
- נוכיח שהפתרונות בת"ל (מעל המרוכבים).
- .
- נניח ש, נחלק ב.
- נציב ונשאיף את .
- נקבל כי הפולינום המקדם של האקספוננט הגדול ביותר חייב להיות אפס.
- לכן באינדוקציה כל הפולינומים חייבים להיות אפס, ולכן כל אחד מהקבועים חייב להיות אפס.
- כיוון שהפתרונות בת"ל מעל המרוכבים, אפשר ליצור איתם כל תנאי התחלה, ולקבל פונקציות ממשיות שפותרות אותו.
- דוגמא: מצאו את הפתרון הכללי של המד"ר .
- ראשית, נמצא את הפולינום האופייני .
- ננחש ש2 הוא שורש, נבצע חילוק, ננחש שוב את 2 כשורש ונקבל כי .
- לכן השורשים של הפולינום האופייני הם 2 מריבוי 2, ו מריבוי 1.
- לכן הפתרון הכללי הוא .
- דוגמא: מצאו את הפתרון של המד"ר המקיים .
- הפולינום האופייני הוא .
- הפתרון הכללי הוא .
- כעת נמצא את הקבועים:
- .
- .
- ולכן .
- סה"כ הפתרון הוא .
הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית
- כבר ראינו שעל מנת למצוא פתרון כללי למד"ר לינארית לא הומוגנית, עלינו למצוא פתרון כללי למד"ר ההומוגנית (למדנו כיצד בהרצאה קודמת), ופתרון פרטי כלשהו למד"ר הלא הומוגנית.
- נלמד כיצד למצוא פתרון פרטי.
שיטת הניחוש עבור מד"ר עם מקדמים קבועים
- תהי מד"ר מהצורה .
- אם פולינום מדרגה m:
- אינו שורש של הפולינום האופייני, ננחש פולינום מדרגה m.
- אם שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש .
- אם :
- אם אינו שורש של הפולינום האופייני ננחש .
- אם שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש .
- אם או :
- אם אינם שורשים של הפולינום האופייני ננחש (כאשר פולינומים מסדר m).
- אם שורשים של הפולינום האופייני מריבוי k כל אחד, ננחש .
- דוגמאות:
- עבור הפולינום האופייני הוא ננחש את הפתרון .
- עבור כעת אינו שורש של הפולינום האופייני, ולכן ננחש . (שימו לב שהפולינום הוא בעצם מדרגה 0.)
- עבור כעת הוא שורש מריבוי 2 ולכן ננחש את הפתרון .
- עבור הפולינום האופייני הוא השורש מופיע מריבוי 1 ולכן ננחש .
- לאחר הניחוש, נמצא את הקבועים ע"י הצבה. נחשב עבור הדוגמא הראשונה:
- המד"ר , הניחוש .
- .
- .
- נציב .
- נבצע השוואת מקדמים:
- .
- .
- .
- לכן הפתרון הפרטי הוא .
- סה"כ הפתרון הכללי הוא .
- המד"ר , הניחוש .
וריאצית מקדמים יחד עם שיטת קרמר למד"ר לינארית
- תהי מד"ר לינארית (לאו דווקא עם מקדמים קבועים) מהצורה .
- יהיו פתרונות בת"ל למד"ר ההומוגנית.
- ננחש כי קיים פתרון פרטי מהצורה .
- טענה - עבור פונקציות המקיימות את מערכת המשוואות מתקיים כי הוא פתרון פרטי של המד"ר.
- הוכחה:
- . (לפי המשוואה הראשונה.)
- באופן דומה . (לפי המשוואה השנייה.)
- נמשיך כך עד שנקבל
- כעת נגזור ונקבל , לפי המשוואה האחרונה.
- נציב במד"ר המקורית:
- כיוון ש פתרונות למד"ר ההומוגנית הביטויים בסוגריים מתאפסים וסה"כ קיבלנו כי אכן .
- כלומר, על מנת למצוא פתרון פרטי, עלינו למצוא פתרון למערכת המשוואות הבאה:
- אבל דטרמיננטת מטריצת המקדמים היא בדיוק הוורונסקיאן!
- כיוון ש בסיס למרחב הפתרונות, מטריצת המקדמים הפיכה לכל ולכן קיים פתרון (יחיד) למערכת.
- כיצד נמצא את הפתרון? שיטת קרמר.
- לאחר שנמצא את הערכים של נבצע אינטגרציה ונמצא סה"כ את הפתרון הפרטי.
- דוגמא - מצאו פתרון כללי למד"ר .
- פתרון כללי למד"ר ההומוגנית הוא .
- כעת עלינו למצא פתרון פרטי .
- עלינו למצוא פתרון למערכת
- לכן לפי שיטת קרמר
- לכן
- סה"כ הפתרון הפרטי הוא .
- דוגמא:
- שימו לב שיכלנו לפתור את השאלה הקודמת בדרך אחרת, קצרה יותר, עם טריק.
- מתקיים כי .
- נמצא פתרון פרטי למד"ר בשיטת הניחוש.
- נמצא פתרון פרטי למד"ר בשיטת הניחוש.
- לכן הוא פתרון פרטי למד"ר מתוך לינאריות.
הרצאה 8 פתרון מד"ר באמצעות טורי טיילור
שימוש בטורי טיילור
- ננחש שהפתרון הוא טור חזקות, ואם אכן יש פתרון כזה, נמצא את המקדמים.
- גם אם לא נוכל למצוא נוסחא פשוטה לפונקציה, עדיין טור החזקות יכול לתת קירוב שלה.
- דוגמא: הזזת אינדקס של טור טיילור.
- הזיזו את האינדקס של הטור כך שהחזקה תהיה .
- אנחנו רוצים להציב ולכן .
- כיוון ש מתחיל מ4, נובע ש יתחיל מ2.
- סה"כ נקבל כי .
- דוגמא מצאו את הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית .
- עבור מדובר במד"ר לינארית הומוגנית בעלת שני פתרונות בת"ל.
- ננחש כי קיים פתרון בצורת טור טיילור .
- שימו לב שאנו מניחים שהפונקציה מוגדרת באפס, ייתכן שנרצה לפתח טור טיילור סביב נקודות אחרות באופן כללי.
- נציב במשוואה ונקבל:
- לכן:
- לכל מתקיים .
- עבור מקבלים .
- עבור נחלק ב ונקבל .
- לכל מתקיים .
- סה"כ המשוואות שקיבלנו הן
- וכן הלאה.
- נשים לב כי באופן כללי חופשיים.
- עבור הבחירה נקבל את הפתרון .
- עבור הבחירה נקבל את הפתרון .
- נבדוק שהפתרונות בת"ל:
- לכל הוורונסיקאן שונה מאפס ולכן הפתרונות בת"ל.
- שימו לב שהוורונסיקאן התאפס בנקודה אחת, אבל זה בסדר כי המד"ר היא לינארית עבור .
- אכן ב משפט היחידות לא עובד, שני הפתרונות מקיימים .
- סה"כ הפתרון הכללי הינו
מציאת פתרון פרטי
- דוגמא - מצאו את הפתרון הכללי למד"ר .
- ראשית נעביר את המד"ר לצורה סטנדרטית
- נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על הפתרון למד"ר ההומוגנית יחד עם כלל קרמר.
- נחפש פתרון מהצורה .
- כעת
- לכן .
- כמו כן,
- לכן .
- סה"כ הפתרון הפרטי הינו
- לכן הפתרון הכללי הינו
הרצאה 9 מערכות מד"ר
מערכת מד"ר לינארית מסדר ראשון עם מקדמים קבועים
- לעיתים יש לנו מד"ר העוסקות במספר פונקציות שונות.
- נניח שיש לנו סיר מים מתבשל על הגז.
- A היא מסת המים בסיר, וB היא מסת המים שהתאדו אל המכסה.
- נניח שקצב התאדות המים מהסיר אל המכסה הוא וקצב התעבות המים מהמכסה בחזרה לסיר הוא .
- לכן
- נסמן את שתי הפונקציות ב ונניח כי .
- נקבל את המערכת כלומר
- נראה כיצד לכסון המטריצה A יעזור לנו לפתור את המערכת.
- במקרה בו A אינה לכסינה לא נטפל, אך אפשר לפתור אותו באופן כללי.
- עבור ו"ע מתקיים כי .
- כיוון שהוקטור הוא וקטור קבועים, .
- כלומר, הוא פתרון למערכת.
- בחזרה לדוגמא:
- הע"ע של הם .
- הו"ע המתאימים הם
- הפתרון הכללי הוא
- כלומר ו
- שימו לב שככל שעובר הזמן היחס בין המים בסיר למים על המכסה שואף להיות קבוע.
- שימו לב ש, זה הגיוני כיוון שמסת המים אינה משתנה בתהליך.
שתי מסות על קפיץ - מערכת מד"ר מסדר שני
- נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ.
- נניח כי מודדות את מיקום המסות ביחס לנקודת האפס שלהן, וצד ימין הוא הכיוון החיובי בשתיהן.
- נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה.
- נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד.
- לכן מתקבלת מערכת המד"ר
- נסמן , ולכן .
- הע"ע של A הינם .
- עבור הו"ע המתאים לע"ע מתקיים כי .
- לכן אם נבחר כך ש, ונבחר אזי נקבל .
- כלומר הוא פתרון למערכת.
- עבור הו"ע המתאים לע"ע מתקיים כי .
- לכן אם נבחר כך ש ונבחר אזי נקבל .
- לכן הוא פתרון למשוואה.
- ביחד קיבלנו פתרון כללי
- תנאי ההתחלה הם המיקומים והמהירויות של כל אחת מהמסות.
קשר בין מד"ר מסדר גבוה למערכת מד"ר מסדר ראשון
- נביט במד"ר .
- נסמן .
- לכן המד"ר שקולה למערכת מסדר ראשון .
- בפרט, המד"ר הלינארית שקולה למערכת
- בכתיב מטריצות קיבלנו את המערכת כאשר:
- הפולינום האופייני של הוא:
- ניתן להוכיח באינדוקציה כי , בדיוק הפולינום האופייני של המד"ר המקורית, לא במפתיע.
הרצאה 10 התמרת לפלס
- התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות.
- עבור הפונקציה המוגדרת בקטע נגדיר את התמרת הלפלס .
- שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s.
- אם מתקיים כי אזי ההתמרה מתכנסת לכל .
- הביטוי האחרון מתכנס לכל .
- נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה.
- דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה .
- לכל האינטגרל הלא אמיתי מתכנס ונקבל כי
- במילים פשוטות התמרת לפלס של הפונקציה הינה הפונקציה .
- דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה .
- נבצע אינטגרציה בחלקים
- נבצע אינטגרציה בחלקים על האינטגרל החדש
- ביחד נקבל כי
- נבודד את ונקבל כי
- דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה .
- במהלך הדוגמא הקודמת קיבלו את השיוויון
- .
- ולכן
- דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה .
- בויקיפדיה ניתן למצוא טבלה של התמרות לפלס שימושיות.
- שימו לב לשימוש בפונקצית המדרגה שמאפסת את כל החלק השלילי של ציר הx.
- הפונקציה מאפסת את ציר הx בקטע .
תכונות התמרת לפלס
- יחידות:
- אם רציפות, ו אזי .
- לינאריות:
- התמרת הנגזרת הראשונה:
- התמרת נגזרת כללית:
- הזזה של המשתנה s:
- אם אזי
- הזזה של המשתנה t:
- אם אזי
- תכונות נוספות:
- אם אזי
- אם אזי
- אם אזי
- נוכיח חלק מהתכונות לעיל כעת ובהרצאה הבאה.
- נוכיח עבור y החסומה ע"י אקספוננט כי
- נבצע אינטגרציה בחלקים
- כעת .
- וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה.
- דוגמא - נמצא פתרון למד"ר .
- נבצע התמרת לפלס:
- לכן
הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס
- נוכיח כי
- נפתור את המד"ר עם תנאי ההתחלה .
- שימו לב שכבר למדנו איך לפתור מד"ר זו - למצוא פתרון כללי ולהציב תנאי ההתחלה.
- התמרת לפלס עשוייה לחסוך לנו קצת זמן.
- נבצע התמרת לפלס:
- ידוע ש הינה ההתמרה של .
- לכן הינה ההתמרה של , וזהו פתרון המד"ר.
- נוכיח כי אם אזי
- .
- נגזור את שני הצדדים לפי ונקבל כי
- את העובדה שגזרנו בתוך האינטגרל לא נצדיק כאן, היא נכונה עבור פונקציות שחסומות על ידי אקספוננט.
- לכן,
- כמו כן,
- דוגמא - נחשב את .
- ידוע כי
- לכן
- לכן
- לכן
- ובאופן כללי
דוגמא
- נפתור את המד"ר .
- נבצע התמרת לפלס:
- לכן קבלנו את המשוואה
- קיבלנו מד"ר לינארית.
- לצורך הנוחות, נחליף זמנית את הסימון ונפתור את
- נסמן , ו
- לכן .
- כמו כן
- סה"כ הפתרון למד"ר הלינארית הוא
- נחזור לסימון התמרת הלפלס:
- נבצע התמרה הפוכה על מנת לקבל את הפתרון למשוואה המקורית:
דוגמא
- נמצא פתרון למד"ר המקיים .
- נבצע התמרת לפלס .
- לכן
- לכן
- לכן
- לכן
- הערות:
- הפונקציה שקיבלנו רציפה אם נגדיר אותה ב0 להיות 1, ואכן מקיימת את תנאי ההתחלה.
- מצאנו רק פתרון אחד, כיוון שלפתרון השני אין התמרת לפלס (האינטגרל לא מתכנס באיזור 0).
הרצאה 12 - הדלתא של דירק
הדלתא של דירק
- נתחיל ונאמר כי ישנן מספר גישות אל הדלתא של דירק, אנחנו נציג גישה אחת שרלוונטית אלינו.
- הדלתא של דירק אינה פונקציה, אלא מייצגת תהליך.
- למרות האמור, אנחנו נתייחס לתוצאה הסופית של התהליך, כאילו היה מדובר בפונקציה ממש.
- מטרה עיקרית: 'פונקצית הדלתא' מקיימת את התכונה לכל פונקציה הרציפה ב.
- כמו כן, לכל פונקציה הרציפה בa.
- בצורה מדוייקת יותר, נביט בסדרת הפונקציות
- כאשר לכל מתקיים כי ועבור מקבלים כי .
- לכל מתקיים כי .
- עקרונית הסדרה מייצגת פונקציות בעלות שטח אחד, ההולך ומתרכז בנקודה אפס.
- עבור הרציפה בסביבה של מתקיים כי:
- לפי משפט ערך הממוצע האינטגרלי
- נגדיר את
- נשים לב כי לפי גישה זו ו.
- נחשב את התמרת הלפלס של הדלתא של דירק:
- לכל מתקיים
- בפרט
תגובת הלם
- נביט במערכת של מסה המחוברת לקפיץ, המתחילה במנוחה.
- נניח שברגע מישהו נתן 'פליק' למסה.
- הדרך שלנו לבטא כוח נקודתי שכזה היא הדלתא של דירק, המכונה גם 'פונקצית הלם'.
- כלומר הכוח החיצוני על המערכת הוא , בנוסף לכוח המופעל על ידי הקפיץ.
- למעשה אנו מעוניינים בפתרון למד"ר
- באופן דומה להגדרת האינטגרל, ניתן לחשוב על הפתרון כגבול הפתרונות למערכות המקורבות .
- על מנת שיהיה פתרון למד"ר עלינו לבחור הפעם סדרה של פונקציות גזירות ב כמו
- נוכיח כעת את הנוסחא עבור :
- נבצע את ההצבה ונקבל:
- .
- נפתור את המערכת עם התמרת לפלס:
- .
- כיוון שהמערכת התחילה במנוחה, .
- לכן .
- ולכן .
- (הרי ).
- אכן, עד רגע המערכת במנוחה .
- לאחר מכן, אנו מקבלים את הפתרון המקיים .
- כלומר ה'הלם' תפקד במקרה זה כמו תנאי התחלה על המהירות - זה בדיוק ה'פליק' שהכנו במסה.
- נפתור את המערכת עם תנאי ההתחלה .
- נפעיל התמרת לפלס
- לכן
- לכן
- לכן
- כלומר בזמן ההלם עוצר את התנועה במערכת, והפתרון מתאפס.
- דוגמא - נפתור את המד"ר עבור תנאי ההתחלה .
- נבצע התמרת לפלס ונקבל כי .
- לכן
- ראשית נמצא את ההתמרה ההפוכה :
- לכן
- ולכן סה"כ הפתרון למד"ר הינו
הרצאה 13 - משוואת אוילר
- משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה:
- על מנת לפתור את המד"ר עבור נגדיר .
- נקבל כי
- באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי עבור קבועים כלשהם.
- לכן אם נציב במד"ר נקבל כי עבור קבועים כלשהם, זו מד"ר שאנחנו יודעים לפתור.
- אנחנו רוצים למצוא בקלות את הפתרונות של המשוואה האופיינית, בלי למצוא ישירות את הסקלרים.
- נסמן
- נסמן
- ראינו ש
- נציב ונקבל
- .
- ולכן
- כלומר אם נשווה את הפולינום האופייני של לאפס נקבל את
- (זו נקראת המשוואה האינדיציאלית).
- סה"כ אם r שורש ממשי מריבוי k של המשוואה האינדנציאלית אזי:
- פתרון של המד"ר לכל .
- ולכן פתרון של משוואת אוילר המקורית, לכל .
- אם זוג שורשים מרוכבים צמודים מריבוי k כל אחד אזי:
- פתרונות של המד"ר , לכל .
- לכן פתרונות של משוואת אוילר המקורית, לכל .
- דוגמא:
- נציב ונקבל את המשוואה האינדנציאלית .
- לכן .
- כלומר .
- לכן הפתרון הכללי הינו
- דוגמא:
- נעביר לצורה של משוואת אוילר .
- המשוואה האינדנציאלית היא .
- כלומר .
- לכן הפתרון הכללי הינו
- דוגמא:
- מצאו פתרון כלשהו למד"ר
- ראשית נמצא את הפתרונות למד"ר ההומוגנית, שהיא משוואת אוילר.
- לאחר מכן נמצא פתרון פרטי באמצעות וריאצית המקדמים.