אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הגדרה
נאמר שפונקציה גזירה בנקד' אם לכל סדרה קיים הגבול , ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.
פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.
דוגמאות
תרגיל
האם הפונקציה גזירה?
פתרון
כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!
תרגיל
האם הפונקציה גזירה?
פתרון
לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.
משפטים
סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!
תרגיל
א. תהי הוכיחו: .
ב. יהי פולינום. הוכיחו ש- .
פתרון
א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה.
ב. מסעיף קודם וכלל החיבור.
תנאי קושי-רימן
נגזרות חלקיות
תהי פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.
דוגמא: אז הנגזרות החלקיות הן: .
עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.
כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של המתאימות.
תנאי קושי רימן
תהי פונקציה מרוכבת. גזירה בנקודה אם ורק אם הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:
.
ובמקרה זה מתקיים: .
תרגיל
בדקו באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות, ומצאו את הנגזרת בנקודות אלו:
1.
2.
3.
4.
פתרון
1. נקבל: . ואכן מתקיים תנאי קושי-רימן בכל נקודה. לכן זו פונקציה גזירה בכל נקודה שנגזרתה: . שימו לב מה קיבלנו - הנגזרת שלה זה היא בעצמה!!
2. לא גזירה באף נקודה כי נקבל , ואם היא גזירה בנקודה אז גם פונקציית החלק הממשי גזירה שם, כהפרש גזירות, בסתירה לכך שהיא לא גזירה באף נקודה.
3. נרשום: . נמצא נגזרות חלקיות: . נבדוק מתי התנאי מתקיים:
.
.
שני התנאים מתקיים כאשר: . כלומר גזירה בציר המדומה, ובנקודה .
הנגזרת שם היא: . נשים לב שעל הציר המדומה ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה נקבל .
4. נקבל את הנגזרות החלקיות: . נבדוק את התנאי:
.
תמיד.
לכן רק בנקודות הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: .
משפט
פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.
תרגיל
הוכיחו שאם גזירה והחלק הממשי של הוא פונקציה קבועה אז קבועה.
פתרון
קבועה ולכן , וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן , ולכן גם קבועה. ולכן קבועה.