מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/4

חזרה למערכי השיעור

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.

$arcsin(x):[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

$arccos(x):[-1,1]\rightarrow [0,\pi]$

$arctan(x):(-\infty,\infty)\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

תרגיל: הוכח כי $sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}$

תרגילים

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

• $|cos(x)|\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

• $sin(x^2+1)<0$

• $sin(ax)>0$

• $arcsin(|x-1|)>\frac{\pi}{4}$

• $sin(2x) < 2sin(x)$

• $\sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 < 0$

מספרים מרוכבים

נביט באוסף האיברים מהצורה

$a+b\cdot i$

כאשר $a,b\in\mathbb{R}$ והאות i הינה לצורך סימון בלבד. נקרא לאוסף זה מספרים מרוכבים.

נגדיר פעולות חיבור וכפל בין מספרים מרוכבים:

$(a+b\cdot i) + (c + d\cdot i) = (a+c) + (b+d)\cdot i$

$(a+b\cdot i)(c+d\cdot i) = (ac-bd) + (bc+ad)\cdot i$

שימו לב כי $i^2 = -1$

בנוסף לכל מספר מרוכב $z=a+bi$ נגדיר את הצמוד המרוכב:

$\overline{z}=a-bi$

תרגיל חשב את $z\cdot \overline{z}$

פתרון $z\cdot \overline{z} = a^2+b^2$

הערה: נסמן $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

תרגיל הוכח שלכל מספר מרוכב $z$ קיים מספר מרוכב $z^{-1}$ כך ש $z\cdot z^{-1} = 1$.

פתרון: $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$

הערה: באופן כללי נסמן $z^{-1}=\frac{1}{z}$

תרגיל חשב את הביטוי $\frac{5+2i}{2-3i}$

הגדרה: עבור מספר מרוכב $z=a+bi$

החלק הממשי $Re(z)=a$

החלק המדומה $Im(z)=b$

לדוגמא:

$Im(a-bi) = -b$

תרגיל: הוכח כי $|z|\geq |Re(z)|$

תרגיל: הוכח את אי-שיוויון המשולש $|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$

המישור המרוכב

כל מספר מרוכב $a+bi$ מתאים לנקודה $(a,b)$ במישור המרוכב.

ניתן לתאר את המספר המרוכב באופן יחיד באמצעות המרחק מראשית הצירים וזוית כלפי ציר האיקס.

מתקיים:

$r=|z|$

אם $a>0$ אזי $\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)$

אם $a<0$אזי $\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)+\pi$

אם $a=0$ וגם $b>0$ אזי $\varphi=\frac{\pi}{2}$

אם $a=0$ וגם $b<0$ אזי $\varphi=-\frac{\pi}{2}$

$z=a+bi=r(cos(\varphi) + i\cdot sin(\varphi)) = rcis(\varphi)$

הצורה $rcis(\varphi)$ נקראת הצורה הפולארית של המספר המרוכב, ואילו $a+bi$ היא הצורה הקרטזית.