88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3

חזרה למערכי התרגול

מטריצות הפיכות

הגדרה: מטריצה $A\in \mathbb{F}^{n\times n}$ נקראת הפיכה אם קיימת מטריצה B כך ש $AB=BA=I$. במקרה זה, מטריצה B נקראת ההופכית של A ומסומנת $B=A^{-1}$.

הערות

• מטריצה הפיכה היא בהכרח ריבועית
• המטריצה ההופכית $A^{-1}$ היא יחידה.

דוגמא:

ההופכית של המטריצה $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$ היא $A$ עצמה.

נבדוק, אכן מתקיים ש $AA=I$ (קל לראות בעזרת כפל שורה-שורה)

משפט: אם A ריבועית ו$AB=I$ אזי גם $AB=BA=I$ וB הינה ההופכית של A. כלומר מטריצה שהפיכה מצד אחד הפיכה משני צדדים.

תרגיל: הוכח כי $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

פתרון: מספיק להוכיח רק כי $(AB)(B^{-1}A^{-1})=I$ (לפי משפט ממוקדם)

ואכן, בגלל קיבוציות כפל מטריצות + הגדרת הופכית, נקבל כי $A(BB^{-1})A^{-1}=A(I)A^{-1}=AA^{-1}=I$

תרגיל (הכללה): יהיו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): Aֹ_1,A_2,\dots A_k

מטריצות אזי

המכפלה $A_1\cdot A_2\cdots A_k$ הפיכה אמ"מ לכל $i$ מתקיים $A_i$ הפיכה (כל המטריצות הפיכות). במקרה זה $(A_1\cdot A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdot A_{k-1}^{-1}\cdots A_1^{-1}$

הוכחה (חלקית): כיוון ראשון ($\Rightarrow$) : בדיקה ישירה כי $(A_1\cdot A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdot A_{k-1}^{-1}\cdots A_1^{-1}$

כיוון שני ($\Leftarrow$) : נתון שהמכפלה הפיכה. צריך להוכיח שכל אחת מהמטריצות הפיכה. נסמן את ההופכית של המכפלה ב $B$ אזי מתקיים לפי הגדרה כי $A_1\cdot A_2\cdots A_k\cdot B=I$ ומכאן רואים ישירות כי $A_1^{-1}=A_2\cdots A_k\cdot B$.

כעת נכפיל ב $A_1^{-1}$ משמאל וב $A_1$ מימין ונקבל כי $A_2\cdots A_k\cdot B\cdot A_1=I$ ומכאן ש $A_2^{-1}= A_3\cdots A_k\cdot B\cdot A_1$ וכן על זאת הדרך...

מסקנה: אם $A$ הפיכה אזי לכל $n$ טבעי מתקיים כי $(A^{n})^{-1}=(A^{-1})^n$. נגדיר את $A^{-n}$ כאחד מהביטויים הנ"ל.

!הערה! לא ניתן לדעת שום דבר על הביטוי $(A+B)^{-1}$. למשל

• $A=I,B=-I$ הפיכות ו $A+B=0$ לא הפיכה.
• $A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),\, B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)$

לא הפיכות ו $A+B=I$ הפיכה.

תרגיל

תרגיל: תהא $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ מטריצה עם שורת אפסים. הוכח: $A$ לא הפיכה.

פתרון

תהא שורה $i$ שורת האפסים של $A$.

אזי לכל מטריצה $B$ מתקיים $R_{i}(AB)=R_{i}(A)B=\vec{0}B=\vec{0}\neq R_i(I)$ (לפי כפל שורה שורה)

בפרט לא קיימת $B$ כך ש $AB=I$ כיוון ש $R_i(I)\neq 0$.

תרגיל 6.1 וחצי

הוכח שאם A הפיכה אזי גם המשוחלפת שלה הפיכה ומתקיים $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$. הסק שאם A הפיכה וסמטרית אזי גם ההופכית שלה סימטרית.

פתרון

נניח A הפיכה, אזי קיימת לה הופכית כך ש $AA^{-1}=I$. נשחלף את שני האגפים ונקבל $(A^{-1})^tA^t=I^t=I$ ומכאן המש"ל כיוון שA ריבועית וכך גם המשוחלפת שלה.

אם A הפיכה וסימטרית מתקיים $(A^{-1})^t=(A^t)^{-1}=A^{-1}$ כלומר ההופכית גם סימטרית.

תרגיל

תהא $A$ מטריצה ריבועית כך ש $A+A^2$ הפיכה. הוכח כי $A,A+I$ הפיכות

פתרון

כיון ש- $A+A^2=A(A+I)$, ונתון ש- $A+A^2$ הפיכה, לכן $A(A+I)$ הפיכה, ומתרגיל קודם על "מכפלה הפיכה אם ורק אם מוכפלת מהפיכות" נקבל הדרוש.

דרך נוספת: נתון שקיימת $B$ כך ש $(A+A^2)B=I$

אבל זה שווה ל $A(A+I)B=I$ ומכאן ש $A^{-1}=(A+I)B$ הפיכה.

באופן דומה $(A+I)AB=I$ ומכאן ש $(A+I)^{-1}=AB$ הפיכה.

מציאת הופכית והצגה כמכפלה של מטריצות אלמנטריות

דיברנו כבר על פעולות שורה אלמנטריות כאשר דיברנו על פעולות שלא משנות את מרחב הפתרונות של המערכת המתאימה למטריצה. נזכיר מהן פעולות השורה האלמנטריות:

1. $R_i \leftrightarrow R_j$
2. $\alpha R_i \rightarrow R_i$, כאשר $0\neq\alpha\in\mathbb{F}$
3. $R_i +\alpha R_j \rightarrow R_i$ כאשר $i\neq j$

את הפעולות הללו ביצענו על מטריצות (ככה דירגנו אותם). למשל נסמן את פעולת השורה $R_1\rightarrow R_1-R_2$ באות $\rho$ אזי מתקיים לדוגמא:

$\rho\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

$\rho\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & -2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$

כעת נרצה להחליף את ביצוע הפעולה בכפל במטריצה המכונה מטריצה אלמנטרית.

מטריצות אלמנטריות

מטריצת (שורה) אלמנטרית היא מטריצה המתקבלת מהפעלת פעולת שורה אלמנטרית על מטריצת היחידה.

דוגמאות (ב $\mathbb{F}^{3\times3}$):

1. החלפת שורות $R_{2}\leftrightarrow R_{3}$ מתאים למטירצה $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$
2. הכפלת שורה 1 ב-5 $5\cdot R_{1}\rightarrow R_{1}$ מתאים למטריצה $\left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$
3. החסרת שורה 3 משורה 1 $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$ מתאים למטריצה $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

משפט: לכל מטריצה A מתקיים $\rho(A) = \rho(I)A$.

כלומר, הפעלת פעולת שורה אלמנטרית שקולה לכפל במטריצת השורה האלמנטרית המתאימה.

משפט: מטריצה אלמנטרית $E=\rho(I)$ היא הפיכה ומתקיים $E^{-1}=\rho^{-1}(I)$.

דוגמא: נמצא את ההופכית של המטריצות ממקודם:

1. $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{5} & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

יש משפט והגדרה דומים עבור מטריצות עמודה אלמנטריות עם כפל בצד השני. כמו כן, כל מטריצת שורה אלמנטרית הינה מטריצת עמודה אלמנטרית עבור פעולה מתאימה. מטריצות אלה נקראות ביחד מטריצות אלמנטריות.

מסקנה - אלגוריתם למציאת מטריצה הופכית

בהנתן מטריצה A הפיכה ניתן לעבור מ A ל- I ע"י פעולות שורה אלמנטריות. כלומר $E_{k}\cdots E_2 E_{1}\cdot A=I$ כאשר $E_i$ היא המטריצה האלמנטרית שמתאימה לפעולה האלמנטרית שביצענו במהלך הדירוג.

מכאן רואים בקלות כי $A^{-1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}$

כיוון ש $E_{k}\cdots E_2 E_{1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}\cdot I$ אז ההופכית מתקבלת מהכפלת המטריצות האלמנטריות ב I (או באופן שיקול ביצוע הפעולות האלמנטריות על I)

לכן אם נסתכל על המטריצה $(A|I)$ ונדרג אותה נקבל לאחר הדירוג $(I|A^{-1})$ פעולות הדירוג מתבצעות סימולטנית גם על A וגם על I. ברגע שהגענו מ A ל I אז במקביל הגענו מ I להופכית של A.

דוגמא: נמצא את ההופכית של תהא $A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$ .

נעשה פעולות דירוג על $(A|I)$

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_{2}-0.5R_{3}\rightarrow R_{2}}\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0.5\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{0.5R_{3}\rightarrow R_{3}}\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0.5\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0.5 \end{array}\right)

לפי התיאוריה ממקודם נקבל כי $A^{-1}= \left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0.5\\ 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{array}\right)$

תוספת: הצגת מטריצה כמכפלה של אלמנטריות

נשים לב כי קיבלנו ש $A^{-1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}$ המטריצה ההופכית היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.

ומכאן שגם $A$ ניתנת להצגה של מכפלה של מטריצות אלמנטריות כיוון ש $A=(A^{-1})^{-1}=(E_{k}\cdots E_2 E_{1})^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1} \cdots E_k^{-1}$ כלומר $A$ היא מכפלת בסדר הפוך של ההופכיות של האלמנטריות.

נמשיך בדוגמא להמחיש את הענין. ראינו שהדירוג מ תהא $A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$ .

ל $I$ מתבצע ע"י 4 פעולות שורה. המטריצות האלמנטריות המתאימות הן

1. $E_1 = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ (החלפת שורות 1 ו -2)

2. $E_2 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ (החסרת חצי שורה 3 משורה 2)

3. $E_3 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ (החסרת שורה 2 משורה 1)

4. $E_4 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0.5 \end{array}\right)$ (הכפלת שורה 3 בחצי)

במילים אחרות $E_4E_3E_2E_1A=I$

ולכן

• $A^{-1}=E_4E_3E_2E_1$
• $A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}$

הערות

1. אם אחרי הדירוג של $A$ לא קיבלנו $I$ אזי $A$ אינה הפיכה.

הוכחה: נסמן ב $E$ את מכפלת המטריצות האלמנטריות שמדרגות את $A$ לצורה קנונית. ברור כי $E$ הפיכה כמכפלה של מטריצות הפיכות. אם $A$ הפיכה אזי גם $EA$ הפיכה. אבל ב $EA$ יש שורת אפסים כי $EA\not=I$ סתירה לתרגיל מתחילת התרגול.

(מסקנה: אחרי דירוג $A$ או שגילינו שהיא לא הפיכה או שמצאנו את ההופכית. ולכן האלגוריתם שראינו מתבצע גם אם לא יודעים מראש ש $A$ הפיכה)

2. בהנתן מטריצה ריבועית $A$, אזי $A$ הפיכה אם ורק אם למערכת $Ax=b$ קיים פתרון יחיד. פתרון: בכיוון הראשון הפתרון הוא $x=A^{-1}b$. בכיוון ההפוך, אם היא לא הפיכה אז במדורגת יש שורת אפסים ואז או שורת סתירה או משתנה חופשי.

תרגיל

תהא $A=\left(\begin{array}{ccc} a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{3\times3}$ התלויה בפרמטר $a$

1. עבור אילו ערכי $a$ המטריצה הפיכה

2. עבור איזה ערך $a$ (אם בכלל) מתקיים כי $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$

פתרון

הנה הדירוג הרלוונטי

$\left(\begin{array}{ccc} a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{array}\right) \xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a\\ a & 1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow[R_{3}\leftarrow R_{3}-aR_{1}]{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & 1\\ 0 & 1-a & a-1\\ 0 & 1-a^{2} & 1-a \end{array}\right)$

$\xrightarrow{R_{3}\leftarrow R_{3}-\left(1+a\right)R_{1}}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & 1\\ 0 & 1-a & a-1\\ 0 & 0 & 1-a-\left(1+a\right)\left(a-1\right) \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & 1\\ 0 & 1-a & a-1\\ 0 & 0 & \left(1-a\right)\left(a+2\right) \end{array}\right)$

תרגיל

תהא $A$ מטריצה ריבועית הפיכה. תהא $B$ מטריצה המתקבלת מהחלפת שורות 1,2 של $A$. כלומר $A\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}B$. מה הקשר בין ההופכית של $A$ להופכית של $B$?

תרגיל

נסמן $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right)$

א. מצאו $B\in \mathbb{R}^{3\times 2}$ כך ש- $AB=I_2$.

ב. האם $B$ שמצאתם היא יחידה?

ג. האם יש $B\in \mathbb{R}^{3\times 2}$ כך ש- $BA=I_3$?

פתרון

א. ניקח לדוגמא את החלק השמאלי של $A$, ונמצא לו הופכית ע"י דירוג. נקבל: $\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)=I_{2\times 2}$ , ולכן נוכל לקחת $B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$ ונקבל $AB=I$.

ב. היא לא יחידה. אפשר לעשות רעיון דומה עם החלק הימני של $A$ למשל.

ג. לא קיימת. נניח בשלילה שקיימת $B=\left(\begin{array}{cc} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \\ b_5 & b_6 \end{array}\right)$ כך ש- $BA=I_{3\times 3}$, אזי אם נוסיף שורת אפסים ל-$A$ (למטה) ועמודת אפסים ל-$B$ (מימין), נקבל גם שמכפלתם היא היחידה (כי בכל הכניסות נקבל אותו דבר בדיוק כמו קודם), בסתריה לכך שמטריצה עם שורת (או עמודת) אפסים לא הפיכה, ושמכפלה הפיכה אם ורק אם המוכפלות הפיכות.

תרגיל

תהי $0\neq A\in \mathbb{F}^{n\times n}$. הוכיחו: $A$ לא הפיכה אם ורק אם היא מחלקת אפס.

פתרון

משמאל לימין: נתון שהיא מחלקת אפס, ולכן יש $B\neq 0$ כך ש- $AB=0$. נניח בשלילה ש$A$ הפיכה. לכן יש לה הופכית $A^{-1}$ ונקבל: $B=IB=A^{-1}AB=A^{-1}0=0$ בסתירה.

מימין לשמאל: $A$ לא הפיכה. לכן בצורה המדוגרת יש שורת אפסים ומשתנה חופשי, ומכאן שיש פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית. כלומר, יש $x\neq 0$ כך ש- $Ax=0$. ניקח מטריצה $B$ שבכל עמודה יש את וקטור העמודה $x$ הנ"ל, נקבל (לפי כפל עמודה) $AB=0$.