משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11
אינטגרבליות
מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על ).
(1)
נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
- אינטגרבליות לפי דרבו
- אינטגרבליות לפי רימן
היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.
אינטגרבליות לפי דרבו
תהי T חלוקה. נסמן ו-. נגדיר וכן .
חלוקה
חלוקה
דוגמה 1: הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה מתחילה בקטע . נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
פתרון:
דרך 1: חישוב ע"י משולש.
דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).
במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות . ז"א .
- רוחב המלבן
- אורך המלבן
(נשים לב כי פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)
באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:
...
אם נראה כי נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
עבור נרשום: ...
באופן דומה
מסכנה: f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא . הערה: נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת
ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה
דוגמה 2: חשב את השטח שמתחת לעקום ומעל לקטע כאשר פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
פתרון: תזכורת: חייבים בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).
נחלק את הקטע , נבחר חלוקה המקיימת . (לדוגמה: בחרנו חלוקה .
כאשר מתקיים ). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).