משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11
...
הכללה: אם ואם f אינטגרבילית ב- אז . הוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
- אם ואם f אינטגרבילית ב- נרשום
עם מוסכמות אלה יתקיים: . באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל: אם אז לפי משפט 8 . נבדוק: ולכן , מה שנכון כי .
תוכן עניינים
משפט 9
תהי מוגדרת וחסומה ב-. עוד נניח ש-f רציפה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
יהי נתון. נגדיר גרף (1). לפי הנתון f רציפה ב-. לכן נוכל לבחור חלוקה P של כך ש-. כעת גדיר חלוקה Q של ע"י . עוד נגדיר וכן . נובע ש-. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-.
מסקנה 1
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-.
מסקנה 2
נניח ש-f חסומה ב- ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות כך ש- אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
עבור כל k, f חסומה ב- ורציפה ב-. לפי מסקנה 1 f אינטגרבילית ב-. נסתמך על מסקנה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-.
הגדרה: אומרים ש- "רציפה למקוטעין" ב- אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון. גרף (2) נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב- אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם מוגדרת ומונוטונית למקוטעין ב- אך היא אינטגרבילית שם שם.
אינטגרביליות לפי רימן
נניח ש- מוגדרת וחסומה ב-. נבחר חלוקה P של . עוד נבחר מספרים ונכנה ב-P' את התת חלוקה . ז"א . בהתאם לכן נבנה סכום רימן כאשר לכל k מתקיים . גרף (3) מקרב את השטח שמתחת לגרף, ולא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לשטח שמתחת לגרף.
נעיר שעל חלוקה אחת P של אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן . עם זאת יתקיים תמיד . יתר על כן, ו-.
ההגדרת רימן: תהי מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית ב- אם כאשר כל סכומי רימן שואפים לגבול אחד, שיסומן .
משפט 10
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז לפי רימן לפי דרבו.
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של : . כעת נשאיף . כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, וכן לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש- קיים ושווה ל-. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים . לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים . אם כן הוא גם שווה ל-. מצאנו . עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם מצאנו: .
באופן דומה נסיק
משפט 11
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
- אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים
- אם לכל אז (מונוטוניות). בפרט אם אז (חיוביות)
- אינטגרבילית ומתקיים ואם ב- אז
- אם (פונקציה קבועה) אז
...
. נשאיף כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א . עצם קיום הגבול אומר ש- אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק