משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11
את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף זה.
תוכן עניינים
האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 3
תהי f כנ"ל. אזי וכן .
הוכחה
הטענה הראשונה אומרת שלכל קיים כך שאם אז . ברור כי אכן מתקיים . כעת יהי נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של כך ש- ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של כך ש-, ונגדיר . כיוון ש-R עידון של Q, ונובע ש-. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-. לכן נוכל להסיק
.
ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה.
משפט 4
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם ואם כן .
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א . לכן, ממשפט 3, . ע"פ אריתמטיקה של גבולות וכן .
עכשיו נניח ש-. אם כן אז ממשפט דרבו . ולכן f אינטגרבילית.
משפט 5
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם לכל קיימת חלוקה P של כך ש-.
הוכחה
אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 . לכן עבור קיים כך שלכל P המקיימת מתקיים .
לצד השני, נניח שלכל קיימת חלוקה P כך ש- מתקיים . כידוע, לכל חלוקה P מתקיים . לפי הנתון נקבל . זה נכון לכל ולכן , כלומר f אינטגרבילית ב-.
משפט 6
תהי רציפה וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
כעת יהי . כיוון ש- רציפה בקטע סגור היא רציפה במ"ש, לכן קיים כך שאם ו- אז . כעת תהי P חלוקה כלשהי של כך ש-. לפיכך כאשר ו-. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב- חסומה שם, לכל k קיימים כך ש- ו-. כעת , לכן ולבסוף
ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-.
משפט 7
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
נוכיח לפונקציה עולה. לכל מתקיים ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של :
ונבנה .
כעת, אם נבחר לכל k, (ובפרט הם שווים) נקבל
נשאיף ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש- קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-.