משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11

את משפט 3 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־29.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

טורי חזקות (המשך)

משפט 4

נניח שלטור $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ יש רדיוס התכנסות $R>0$, אזי:

1. f גזירה אינסוף פעמים בקטע $(x_0-R,x_0+R)$ ולכל $k\in\mathbb N\cup\{0\}$ מתקיים $f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}$. רדיוס ההתכנסות של כל אחד מהטורים הגזורים הוא R.
2. לכל $k\in\mathbb N\cup\{0\}$, $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב $x_0$.

הוכחה

1. באינדוקציה, בעזרת משפט 3.
2. הוכחנו בסעיף 1 ש-$f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}$. נציב $x=x_0$ ונקבל $f^{(k)}(x_0)=\frac{k!}{(k-k)!}a_k+\underbrace{\frac{(k+1)!}{(k+1-k)!}a_{k+1}(x_0-x_0)}_{=0}+\dots=k!a_k$, כלומר $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$. $\blacksquare$

מסקנה (משפט היחידות לטורי חזקות)

נניח ששני טורי חזקות שווים זה לזה בקטע שלם, כלומר $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$ לכל $x\in(a,b)\ne\varnothing$, אזי $\forall n:\ a_n=b_n$.

הוכחה

נגדיר פונקציה גבולית $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$. עפ"י סעיף 2 של משפט 4 מתקיים $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}=b_n$. $\blacksquare$

הערה

חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_1)^n$ אבל $a_n\ne b_n$ עבור n כלשהו.

דוגמאות

1. נמצא את טור מקלורין $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ של הפונקציה $f(x)=\frac1{1-x}$: ידוע לנו ש-$\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$ עבור $|x|<1$. לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f. $\blacksquare$
2. נמצא טור טיילור של $f(x)=\frac1{1-x}$ סביב $x_0=\frac12$, ז"א $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n$.
   דרך 1:
   $\begin{align}f(x)&=(1-x)^{-1}\\f'(x)&=(1-x)^{-2}\\f''(x)&=2(1-x)^{-3}\\f^{(3)}(x)&=6(1-x)^{-4}\\&\;\;\vdots\\f^{(n)}(x)&=n!(1-x)^{-n-1}\end{align}$
   נציב $x=\frac12$ לקבל $f\left(\frac12\right)=2,\ \dots,\ f^{(n)}\left(\frac12\right)=n!2^{n+1}$ ולכן הטור הוא $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n=\sum_{n=0}^\infty2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n$. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.
   דרך 2: $\frac1{1-x}=\frac1{\frac12-\left(x-\frac12\right)}=2\frac1{1-2\left(x-\frac12\right)}=2\sum_{n=0}^\infty\left(2\left(x-\frac12\right)\right)^n$. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר $\left|2\left(x-\frac12\right)\right|<1$, כלומר כש-$\left|x-\frac12\right|<\frac12$. $\blacksquare$
   נסכם: $\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n$ בקטע $(0,1)$ ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה.
3. נמצא את טור מקלורין של $f(x)=\arctan(x)$, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.
   דרך 1: טור מקלורין הוא $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, כאשר
   $\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}$
   מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.
   דרך 2: תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה $g(x)=\frac1{1+x^2}$ ואז נוכל לקבל את הטור עבור $\arctan(x)$ ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת: $\frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}$ עבור $\left|-x^2\right|<1$, ז"א $|x|<1$. עתה נעשה אינטגרציה: $\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt$ לכל $|x|<1$, ולכן $\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של $\arctan$ בתחום $(-1,1)$. $\blacksquare$ אם מותר להציב $x=1$ אז נקבל את המשוואה היפה $\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots$, אבל מכיוון שלא מתקיים $|1|<1$ צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-$\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right)$.
4. מצאו את טור טיילור ל-$\ln(x)$ סביב $x_0=1$ וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-$\ln(x)$.
   דרך 1: לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל $\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n$ ואז נבדוק מתי השארית $R_N(x)$ שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).
   דרך 2: $\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t$ ולכן תחילה נפתח $\frac1x$: $\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n$ כאשר $|x-1|<1$. כעת $\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}$ בתחום $|x-1|<1$. $\blacksquare$ עבור $x=2$ לא מתקיים $|x-1|<1$, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל $\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots$ (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
5. (תרגיל ממבחן) נגדיר $f(x)=x^7e^{-x^2}$. מצאו $f^{(19)}(0)$: לכל $t\in\mathbb R$ מתקיים $e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}$ ונציב $t=-x^2$ לקבל $f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}$. לפי משפט 4 המקדם $a_{19}$ של $x^{19}$ מקיים $a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!}$ ולכן $f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}$. $\blacksquare$

מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)

הגדרה: מד"ר היא משוואה המקשרת פונקציה נעלמת, נגזרותיה העוקבות ופונקציות אחרות ידועות.

דוגמאות

1. $f'(x)=\sin(x)$ היא מד"ר, שפתרונה הוא $f(x)=-\cos(x)+c$ עבור קבוע c כלשהו.
2. גם $f(x)=f'(x)$ היא מד"ר, ופתרונה $f(x)=ae^x$ עבור קבוע a.
3. $f''(x)=-f(x)$. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה $a\sin(x)+b\cos(x)$ עבור a,b קבועים.
4. (דוגמה יותר קשה) נמצא פתרון כללי ל-$f''(x)-xf(x)=0$ וגם פתרון כך ש-$f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2$: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ עם רדיוס התכנסות $R>0$. לפיכך $f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}$. צריך להתקיים $f''(x)=xf(x)$ ולכן $\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}$ ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: $\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n$. את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו: ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים $2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}$. מכאן ש-$a_0,a_1$ קבועים כלשהם, $a_2=0$, ו-$a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}$, לכן $a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots$. מכאן נובע ש-
   $\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}$
   נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-$a_0$, היחס בין שני איברים עוקבים הוא $\left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}$, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) $\infty$. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-$a_1$ הוא $\infty$ ולכן $f(x)$ הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-$|x-0|<\infty$, כלומר $x\in\mathbb R$. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-$\mathbb R$. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי $f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2$: נזכר ש-$\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ ולכן $3=f^{(0)}(0)=0!a_0$, כלומר $a_0=3$ וגם $-2=f^{(1)}(0)=1!a_1$, כלומר $a_1=-2$. מציבים ערכים אלו של $a_1,a_0$ בפתרון הכללי שמצאנו ל-$f(x)$ וסיימנו את התרגיל. $\blacksquare$