אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא

שאלה 1

משפט ההגדרה

שאלה 2

התרגיל בסוף מערך תרגול 7

שאלה 3

הפתרון נכון כל עוד המאפיין שונה מ-2

סעיף א

נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.

$v=w_1+w_2$, נפעיל את T על שני האגפים לקבל

$Tv=Tw_1+Tw_2=w_1-w_2$

אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:

$w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}$

אם כן, לכל $v\in V$ נגדיר $w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}$. קל לוודא שאכן מתקיים

$v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2$

סעיף ב

נגדיר $V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}$. נובע בקלות מסעיף א כי $V_1+V_2=V$. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי $V_1\oplus V_2=V$. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.

אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.

שאלה 4

סעיף א

הפרכה:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

סעיף ב

נניח כי $AA^t=0$. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו במערך תרגול 2 כי A=0. כעת, נניח כי $BAA^t=0$ נכפול במשוחלפת של B ונקבל $0=BAA^tB^t=BA(BA)^t$ ואז שוב BA=0

סעיף ג

הוכחה:

נובע ממשפט המימדים כי $dimV_1+dimV_2\geq 2n+1$ לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי $dimV_1\geq n+1$. באופן דומה $dimV_1\geq n+1$ ומכיוון ש $V_1+U_1\subseteq V$ מתקיים לפי משפט המימדים כי $dim (V_1\cap U_1)>0$.

מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.